函数
函数的概念
函数的定义
函数是一个映射法则
定义1（函数）：对于给定的集合 $X \sube \R$ ，如果存在某种对应法则 $f$ ，使得对 $X$ 中的每一个数 $x$ ，在 $\R$ 中存在唯一的数 $y$ 与之对应，则称对应法则 $f$ 为从 $X$ 到 $\R$ 的一个函数，记做
$$\begin{aligned} f:X \to \R, x \mapsto y = f(x) \tag{1}\end{aligned}$$其中 $y$ 称为 $f$ 在点 $x$ 的值， $X$ 称为函数 $f$ 的定义域，数集 $\set{f(x)|x \in X}$ 称为函数 $f$ 的值域，记为 $f(X)$ 。称 $x$ 做自变量， $y$ 称做因变量。
设 $y=f(x)$ 是定义在 $X$ 上的一个函数，通常称平面点集
$$\begin{aligned} T = \set{(x,y)|y=f(x),x \in X} \tag{2}\end{aligned}$$为该函数的图像。一般来讲，它是片面内的一条曲线，它和任何一条平行于 $y$ 轴的直线至多只有一个交点。
基本初等函数
定义2（基本初等函数）：以下六类函数称为基本初等函数：
①常值函数 $y=C$ ；
②幂函数 $y=x^\alpha(\alpha>0)$ ；
③指数函数 $y=a^x(a > 0)$；
④对数函数 $y=\log_ax(a>0,a \ne 1)$ ；
⑤三角函数 $y=\sin x,y=\cos x,y=\tan x,y = \cot x,y = \sec x,y = \csc x$ ；
⑥反三角函数 $y=\arcsin x,y=\arccos x,y = \arctan x,y = \arccot x,y = \arcsec x,y = \arccsc x$ （定义见例12）。
其他常用函数
例1（符号函数）： $$\begin{aligned} y = \sgn x = \begin{cases} 1& x > 0 \\[5pt] 0& x = 0 \\[5pt] -1& x < 0 \end{cases} \tag{3}\end{aligned}$$ 例2（Dirichlet函数）： $$\begin{aligned} y = D(x) = \begin{cases} 1 & x \in \Q \\[5pt] 0 & x \in \R \backslash \Q \end{cases} \tag{4}\end{aligned}$$这一函数的图像,是分布在 $y=0$ 和 $y=1$ 这两条直线上的两个离散的点集。注意，这样函数的图像是无法精确画出的。
例3（Gauss取整函数）： $$\begin{aligned} y=\lfloor x \rfloor \tag{5}\end{aligned}$$其中 $\lfloor x \rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，即若 $n \le x < n+1$ ，则 $\lfloor x \rfloor = n$ 。
例4（Riemann函数）： $$\begin{aligned} y=R(x)=\begin{cases} \cfrac{1}{p} & x=\cfrac{q}{p} \in (0,1),p,q为互素的正整数 \\[10pt] 0 & x \in [0,1] \backslash \Q \\[5pt] 1 & x=0 或 1 \end{cases} \tag{6}\end{aligned}$$例5（特征函数）：设 $E \sube R$ ，定义在 $\R$ 中的函数
$$\begin{aligned} y = \chi_E(x)=\begin{cases} 1 & x \in E \\[5pt] 0 & x \notin E \end{cases} \tag{7}\end{aligned}$$称为集 $E$ 的特征函数。
例6（分式线性函数）： $$\begin{aligned} y=\frac{ax+b}{cx+d}(ad-bc \ne 0) \tag{8}\end{aligned}$$由已知函数构造新函数的方法
从己知函数出发，可以通过代数四则运算、限制与延拓、复合运算和取反函数等手段构造出许多新的函数。
函数的四则运算
设 $y=f_1(x),x \in X_1 \sube \R$ 和 $y=f_2(x),x \in X_2 \sube \R$ 为两个已知函数，且 $X = X_1 \cap X_2 \ne \varnothing$ ，则我们可以利用实数的四则运算构造新函数如下：
$$\begin{aligned} (f_1 \pm f_2)(x)=f_1(x) \pm f_2(x) \quad x \in X \tag{9}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} (f_1f_2)(x)=f_1(x)f_2(x)\quad x \in X \tag{10}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \frac{f_1}{f_2}(x)=\frac{f_1(x)}{f_2(x)} \quad x \in X \tag{11}\end{aligned}$$
显然，函数的加法、减法与乘法运算可推广到任意有限个函数的情形，而且对于加法和乘法运算，它们具有交换律与结合律。
函数的限制与延拓
设函数 $f(x),x \in X_1$ 和 $g(x),x \in X_2$ 满足：$X_1 \sube X_2$ 且 $f(x) \equiv g(x),\forall x \in X$ 则称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 在 $X_1$ 上的限制，而 $g(x)$ 是 $f(x)$ 在 $X_2$ 上的延拓。这样，我们就可以从一个已知函数出发，通过限制和延拓来产生新函数。
这里须特别指出的是，对于两个函数而言，只有当它们的定义域及对应关系完全一样时，才能说它们是相等的。
函数的复合
函数的复合运算是数学中一种重要的运算。设 $y=f_1(x),x \in X_1 \sube \R$ 和 $y=f_2(x),x \in X_2 \sube \R$ 为两个函数，若当 $Y_1=f_1(X_1) \sube X_2$ ，则定义在 $X_1$ 上的函数 $y=f_2(f_1(x))$ 称为 $f_1$ 和 $f_2$ 的复合函数，记做 $f_2 \circ f_1$ ，通常称 $f_1$ 为该复合函数的内函数，$f_2$ 为外函数。
同样我们可以考虑多个函数的复合（如果复合有意义的话）。一般来说，函数复合不具有交换律。
要特别注意是：函数的复合运算可以进行的前提条件是，外函数的定义域必须包含内函数的值域。当然，当两个函数的定义域都是 $\R$ 时，则复合运算可以自由地进行。
例7：设 $f(x)=\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ ，则 $f$ 的 $n$ 次复合函数 $\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_{n个}(x) = \cfrac{x}{\sqrt{1+nx^2}}$ 。
〔证明(例7)〕用归纳法证之。当 $n=1$ 时，结论显然成立。现假定当 $n=k$ 时，有
$$\begin{aligned} \underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_{k个}(x) = \frac{x}{\sqrt{1+kx^2}} \tag{12}\end{aligned}$$则当 $n=k+1$ 时，有
$$\begin{aligned} f \circ (\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_{k个})(x)=&f \left(\frac{x}{\sqrt{1+kx^2}}\right) = \cfrac{\cfrac{x}{\sqrt{1+kx^2}}}{\sqrt{1+\left(\cfrac{x}{\sqrt{1+kx^2}}\right)^2}} \\ =& \cfrac{\cfrac{x}{\sqrt{1+kx^2}}}{\sqrt{1+\cfrac{x^2}{1+kx^2}}} = \cfrac{\sqrt{1+kx^2}\cdot\cfrac{x}{\sqrt{1+kx^2}}}{\sqrt{1+kx^2}\sqrt{1+\cfrac{x^2}{1+kx^2}}} \\ =& \cfrac{x}{\sqrt{1+kx^2+x^2}} = \cfrac{x}{\sqrt{1+(k+1)x^2}} \tag{13}\end{aligned}$$所以由数学归纳法原理知，对一切的 $n$ ，有
$$\begin{aligned} \underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_{n个}(x) = \cfrac{x}{\sqrt{1+nx^2}} \tag{14}\end{aligned}$$证毕
反函数
在函数的定义中，我们要求对 $\forall x \in X$ ，在 $\R$ 中必须有唯一的数 $f(x)$ 与之对应，但我们并没有要求 $X$ 中的任何两个不同的数 $x_1$ 和 $x_2$ ，在 $\R$ 中与之对应的两个数 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$ 也必须不同.最极端的例子是常值函数，其所有点上的函数值取同一个数。
设 $f:X \to Y$ 是一个函数。若对任意的 $x_1,x_2 \in X$ ，只要 $x_1 \ne x_2$ ，就有 $f(x_1) \ne f(x_2)$ 成立，则称 $f(x)$ 是单的；若 $Y=f(X)$ 则称 $f(x)$ 为满的；若 $f(x)$ 既是单的又是满的，则称它为一个一一对应。
定义3（反函数）：设 $f:X \to Y$ 是一个一一对应。定义函数 $g:Y \to X$ 如下：对任意的 $y \in Y$ ，函数值 $g(y)$ 规定为由关系式 $y=f(x)$ 所唯一确定的 $x \in X$ 。这样定义的函数 $g(y)$ 称为是函数 $f(x)$ 的反函数，记为 $g=f^{-1}$ 。
反函数 $x=f^{-1}(y)$ 的定义域和值域恰为原来函数 $y=f(x)$ 的值域和定义域.函数 $f$ 和其反函数 $f^{-1}$ 满足：
$$\begin{aligned} f(f^{-1}(y))=y = y,\forall y \in Y \tag{15}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} f^{-1}(f(x))=x, \forall x \in X \tag{16}\end{aligned}$$
因此 $f^{-1}$ 实际上是 $f$ 的逆映射（见定义11）。
习惯上，我们总是把自变量记为 $x$ 因变量记为 $y$ 。因此，为了遵从统一性，$y=f(x)$ 的反函数也记为 $y=f^{-1}(x)$ 。这样一来，从几何 上来看，$y=f(x)$ 的图像与它的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图像正好关于直线 $y=x$ 对称。
例8：双曲正弦函数 $f(x)= \sinh(x)=\cfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ 的反函数 $f^{-1}(x)=\arcsinh(x)=\ln (x+\sqrt{x^2+1}),x \in (-\infin,+\infin)$ 。
〔证明(例8)〕设 $y=f(x)=\cfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ 。令 $e^x=z$ ，则有
$$\begin{aligned} 2zy=z^2-1 \tag{17}\end{aligned}$$用一元二次方程求根公式可得出
$$\begin{aligned} z=y \pm \sqrt{y^2+1} \tag{18}\end{aligned}$$由于 $z=e^x>0$ ，故舍去 $y-\sqrt{y^2+1}$ ，从而有 $x=\ln(y+\sqrt{y^2+1})$ 。因此，$f(x)=\cfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ 的反函数为
$$\begin{aligned} f^{-1}(x)=\ln (x+\sqrt{x^2+1}),x \in (-\infin,+\infin) \tag{19}\end{aligned}$$证毕
定理1：设 $y=f(x)$ 为已定义在 $X$ 上的一个函数，并且记 $Y=f(X)$ 。若存在 $Y$ 上定义的函数 $g(y)$ ，使得 $g(f(x))=x$ ，则 $f(x)$ 的反函数存在，且 $g=f^{-1}$ 。
〔证明(定理1)〕$g(f(x))=x$是 $X$ 上的恒等函数，所以 $g(f(x))$ 是单的，则 $f(x)$ 也必须是单的，否则 $\exists x_1,x_2 \in X$ 使 $f(x_1)=f(x_2)$ ，则 $g(f(x_1))=g(f(x_2))$ ，说明 $g(f(x))$ 不是单的，这与条件相矛盾。而 $f(x)$ 又是 $X$ 到 $Y=f(X)$ 的满射，所以 $f(x)$ 是一个一一对应。于是，$f(x)$ 的反函数存在，而且对 $\forall y \in Y = f(X)$ ，有 $g(y)=g(f(x))=x=f^{-1}(y)$ ，即有 $g=f^{-1}$ 。
证毕
接下来我们讨论一下分式线性函数的反函数和复合函数。
由 $y=\cfrac{ax+b}{cx+d}$ 可推出 $x=\cfrac{b-dy}{cy-a}$ ，而且有
这表明，任何一个分式线性函数都具有反函数，而且其反函数仍然为分式线性函数。
另外，设 $f_1(x)=\cfrac{a_1x+b_1}{c_1x+d_1}(a_1d_1-b_1c_1 \ne 0),f_2(x)=\cfrac{a_2x+b_2}{c_2x+d_2}(a_2d_2-b_2c_2 \ne 0)$ 。则
而且
$$\begin{aligned} (a_1a_2+b_1c_2)(c_1b_2+d_1d_2)-(a_1b_2+b_1d_2)(c_1a_2+d_1c_2) = (a_1d_1-b_1c_1)(a_2d_2-b_2c_2) \ne 0 \tag{22}\end{aligned}$$这表明，任意两个分式线性函数的复合还是分式线性函数。
函数的性质
在本节中，我们主要介绍某些函数具有的一些特别性质。这些性质的讨论是我们以后经常要遇到的，因此要用准确的数学语言来叙述它们的定义和一些等价的命题。
函数的有界性
定义4（有界性）：设 $y=f(x)$ 是定义在 $X$ 上的函数。若存在常数 $M$ ，使得对 $\forall x \in X$ 都有 $f(x) \le M$ ，则称 $f(x)$ 在 $X$ 上有上界，同时称 $M$ 是 $f(x)$ 的一个上界；若存在常数 $m$ 使得对 $\forall x \in X$ ,都有 $f(x) \ge m$ ，则称 $f(x)$ 在 $X$ 上有下界，同时称 $m$ 是 $f(x)$ 的一个下界；若 $f(x)$ 在 $X$ 上既有上界 $M$ 又有下界 $m$ ，则称 $f(x)$ 在 $X$ 上有界。此时，对 $\forall x \in X$ ，有 $m \le f(x) \le M$ 。若 $|f(x)| \le M(x \in X)$ ，则称 $M$ 是 $f(x)$ 的一个界。
容易看出，$f(x)$ 在 $X$ 上有界的充分必要条件是存在 $M$ 使得当 $x \in X$ 时，有 $|f(x)| \le M$ ，即 $f(X) \sube [-M,M]$ 。换句话说，$f(x)$ 在 $X$ 有界也就是其值域 $f(X)$ 是一个有界集。
从几何上来看，若函数 $y=f(x)$ 在 $X$ 上有上界 $M$ ，则 $f(x)$ 的图像将位于直线 $y=M$ 的下面；若 $f(x)$ 有下界 $m$ 则 $f(x)$ 的图像在直线 $y=m$ 的上面；若 $f(x)$ 有界，则必存在 $M>0$ ，使得 $f(x)$ 的图像位于直线 $y=M$ 和 $y=-M$ 之间。
例9：函数 $y=\sin x$ 和 $y=\cos x$ 在 $\R$ 上有界，$M=1$ 就是它们的一个界。
例10：函数 $y=x^n,x \in (-\infin,+\infin)$ ，（ $n$ 为正整数）来说，当 $n$ 为奇数时，它既无上界，又无下界：而当 $n$ 为偶数时，它无上界，但有下界 $m=0$ 。
若 $f(x)$ 不是 $X$ 上的有界函数，则称该函数在 $X$ 上无界。如何用肯定的语气来叙述函数的无界性呢？我们分析一下，$f(x)$ 乃在 $X$ 上无界的等价说法是，任何正数 $M$ 都不是 $y=f(x)$ 在 $X$ 上的界。而 $M$ 不 是 $y=f(x)$ 在 $X$ 上的界，就等价于，必然 $\exists x_0 \in X$ ，使得 $|f(x_0)| > M$ 。因此，若用肯定的语气，函数 $f(x)$ 在 $X$ 上无界可以叙述为：$\forall M > 0$ ，$\exists x_0 \in X$ ，使得 $|f(x_0)|>M$ 。
同理我们也可以给出函数 $f(x)$ 在 $X$ 上无上界或无下界的定义。 $f(x)$ 在 $X$ 上无上界的定义为：$\forall M > 0$ ，$\exists x_0 \in X$ ，使得 $f(x_0) > M$ 。 $f(x)$ 在 $X$ 上无下界的定义为：$\forall M > 0$ ，$\exists x_0 \in X$ ，使得 $f(x_0) < -M$ 。
例11： $f(x)=\cfrac{\sin \cfrac{1}{x}}{x}$ 在 $(0,1]$ 区间上既无上界也无下界，但它却在 $[a,1]$ 上有界，这里 $1 > a > 0$ 。
〔证明(例11)〕$\forall M > 0$ ，取正整数 $n_0 > M$ 并取 $x_0 = \cfrac{1}{2n_0\pi+\cfrac{\pi}{2}} \in (0,1]$ ，则有
$$\begin{aligned} f(x_0)=\cfrac{\sin(2n_0\pi+\cfrac{\pi}{2})}{\cfrac{1}{2n_0\pi+\cfrac{\pi}{2}}}=2n_0\pi+\cfrac{\pi}{2} > n_0 > M \tag{23}\end{aligned}$$ 这就证明了 $y=\cfrac{\sin \cfrac{1}{x}}{x}$ 在 $(0,1]$ 是无上界的。
取 $x_1 = \cfrac{1}{2n_0\pi-\cfrac{\pi}{2}}$ ，则有
这就证明了 $y=\cfrac{\sin \cfrac{1}{x}}{x}$ 在 $(0,1]$ 是无下界的。
对 $a>0$ ，取 $M=\cfrac{1}{a}>0$ ，则 $\forall x \in [a,1]$ ，有 $\bigg|\cfrac{\sin \cfrac{1}{x}}{x}\bigg| \le \bigg|\cfrac{1}{x}\bigg| \le M$ ，即 $y=\cfrac{\sin \cfrac{1}{x}}{x}$ 在 $[a,1]$ 上有界。
证毕
函数的单调性
定义5（单调性）：设 $y=f(x)$ 是定义在 $X$ 上的一个函数。若对任意的 $x_1,x_2 \in X$ ，只要 $x_1 < x_2$ ,便有 $f(x_1) \le f(x_2)(f(x_1) \ge f(x_2))$ ，则称 $f(x)$ 是单调递增(递减)函数。在上述不等式中将“ $\le$ ”“ $\ge$ ”换成“ $<$ ”“ $>$ ”，则称 $f(x)$ 在 $X$ 上是严格单调递增（递减)函数。单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数。
严格单调的函数是定义域到值域的一一对应，所以它存在反函数。但存在反函数的函数未必是单调的。
例12： $y = \sin x(x \in \R)$ 不是单调函数，但当其定义域 $X$ 取为 $\left[-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\right]$ 时，它是严格单调递增函数；当 $X$ 取为 $\left[\cfrac{\pi}{2},\cfrac{3\pi}{2}\right]$ 时，它是严格单调递减函数。因此该函数在这两个区间都分别存在反函数。习惯上，我们用 $y = \arcsin x$ 表示 $y=\sin x$ 在 $\left[-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\right]$ 上的反函数。同样，我们定义 $\arccos x,\arctan x,\arccot x,\arcsec x,\arccsc x$ 分别表示 $\cos x,\tan x,\cot x,\sec x, \csc x$ 在 $\left[-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\right]$ 上的反函数。
例13：考查函数
$$\begin{aligned} y=f(x)=\begin{cases} x & x \in [0,1] \cap \Q \\[5pt] 1-x & x \in [0,1] \backslash \Q \end{cases} \tag{25}\end{aligned}$$该函数的反函数就是它自己。
〔证明(例13)〕因为
$$\begin{aligned} f(f(x)) =& \begin{cases} f(x) & x \in [0,1] \cap \Q \\[5pt] f(1-x) & x \in [0,1] \backslash \Q \end{cases} \\[25pt] =& \begin{cases} x & x \in [0,1] \cap \Q \\[5pt] 1-(1-x) & x \in [0,1] \backslash \Q \end{cases} \\[25pt] =& \begin{cases} x & x \in [0,1] \cap \Q \\[5pt] x & x \in [0,1] \backslash \Q \end{cases} \\[25pt] =& x \quad x \in [0,1] \tag{26}\end{aligned}$$由定理1可知该函数的反函数就是它自己。但 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 的任何子区间都不是单调的。
证毕
函数的周期性
定义6（周期性）：设 $y=f(x)$ 是在 $X$ 上有定义的函数。若存在 $T>0$ ，使得对任意 $x \in X$ 有 $f(x+T)=f(x)$ ，则称 $f(x)$ 为周期函数，$T$ 称为 $f(x)$ 的一个周期。若存在一个最小周期 $T_0$ ，则称 $T_0$ 为 $f(x)$ 的基本周期。
显然，以 $T$ 为周期的周期函数 $f(x)$ 的定义域 $X$ 必须满足条件：对一切的 $x \in X$ ，有 $T+x \in X$ 。
例14：函数 $y=\tan x$ 的定义域为
$$\begin{aligned} \R \backslash \set{\cfrac{\pi}{2}+n\pi|n \in \Z} \tag{27}\end{aligned}$$它是以 $\pi$ 为基本周期的周期函数。
这里需特别指出的是，并非所有的周期函数都有基本周期。
例15：任何正有理数都是Dirichlet函数的周期，因此它没有基本周期。
若一个定义在闭区间 $[a,b]$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(a)=f(b)$ ，则可将它延拓成 $(-\infin,+\infin)$ 上以 $T=b-a$ 为周期的周期函数 $\tilde{f}(x)$ 。
例16：设 $f(x)$ 为定义在 $\R$ 上的周期函数，并且有基本周期 $\tau > 0$ 。如果 $\forall x \in (0,\tau)$ ，有 $f(x) \ne f(0)$ ，则 $g(x)=f(x^2)$ 不是周期函数。
〔证明(例16)〕用反证法。假定 $g(x)$ 是周期函数，而且 $T > 0$ 是它的一个周期，则有
$$\begin{aligned} f((x+T)^2)=g(x+T)=g(x)=f(x^2),\forall x \in \R \tag{28}\end{aligned}$$ 以 $x=0$ 代入(28)，得 $f(T^2)=f(0)$ 。而 $f(x)$ 是以 $\tau$ 为基本周期的周期函数，因此必有某一正整数 $k$ ，使得 $T^2=k\tau$ ，即 $T=\sqrt{k\tau}$ 。
再以 $x=\sqrt{(k+1)\tau}$ 代入(28)得
而
$$\begin{aligned} f((\sqrt{(k+1)\tau}+\sqrt{k\tau})^2)=&f((k+1)\tau+k\tau+2 \sqrt{(k+1)k\tau}) = f((2k+1)\tau + 2\sqrt{(k+1)k\tau}) \\[5pt] =& f(2\sqrt{(k+1)k\tau}) \tag{30}\end{aligned}$$所以
$$\begin{aligned} f(2\sqrt{(k+1)k}\tau)=f(0) \tag{31}\end{aligned}$$注意条件 $\forall x \in (0,\tau)$ ，$f(x) \ne f(0)$ ，因此这说明必有某一正整数 $n$ ，使得 $2\sqrt{(k+1)k}\tau=n\tau$ ，由此可得 $n=\sqrt{k(k+1)}$ 。由于 $k$ 是正整数且 $k < \sqrt{k(k+1)} < k+1$ ，因此 $n$ 不可能的是正整数。这一矛盾表明，$g(x)$ 不可能是周期函数。
证毕
函数的奇偶性
定义7（奇偶性）：设 $y=f(x)$ 是定义在 $X$ 上的一个函数，而且 $X$ 是关于原点对称的，即 $x \in X$ 蕴涵着 $x \notin X$ 。若以 $f(x)=-f(-x)$ 对一切的 $x \in X$ 成立，则称 $f(x)$ 是 $X$ 上的奇函数；若 $f(x)=f(-x)$ 对一切的 $x \in X$ 成立，则称 $f(x)$ 是 $X$ 上的的偶函数。
容易看出，偶函数的图像是关于 $y$ 轴对称的，而奇函数的图像是关于原点对称的。
定理2：设 $y=f(x)$ 是 $X$ 上的奇函数且存在反函数，则 $f(x)$ 的反函数也是奇函数。
〔证明(定理2)〕由奇函数的定义知，对 $\forall x \in X$ ，有 $f(-x)=-f(x)$ 。于是
$$\begin{aligned} -f^{-1}(f(x))=-x=f^{-1}(f(-x))=f^{-1}(-f(x)),\forall x \in X \tag{32}\end{aligned}$$例17： $f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^2})$ 是奇函数。
〔证明(例17)〕由于 $f(x)$ 是 $\sinh x$ 的反函数（见例8），而 $\sinh x$ 是奇函数，所以 $f(x)$ 是奇函数。
证毕
例18： $\sin x,\tan x,\cot x,\csc x$ 是奇函数，$\cos x,\sec x$ 是偶函数。
初等函数
初等函数定义
定义8（初等函数）：在基本初等函数中已经指出，常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。从这些基本初等函数出发经过有限多次加、减、乘、除和复合运算所能得到的所有函数统称为初等函数。
双曲函数
定义9（双曲函数）：双曲函数定义如下：
$$\begin{aligned} \sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} \tag{33}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2} \tag{34}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \tanh x = \cfrac{\sinh x}{\cosh x} = \cfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \tag{35}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \coth x = \cfrac{1}{\tanh x} = \cfrac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} \tag{36}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \sech x = \cfrac{1}{\cosh x} = \frac{2}{e^x+e^{-x}} \tag{37}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \csch x = \cfrac{1}{\sinh x} = \frac{2}{e^x-e^{-x}} \tag{38}\end{aligned}$$
分别称为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割。由定义不难看出，$\sinh x,\tanh x,\coth x,\csch x$ 是奇函数，而 $\cosh x,\sech x$ 是偶函数。
对爱情的渴望，对知识的追求，对人类苦难不可遏制的同情心，这三种纯洁但无比强烈的激情支配着我的一生。
― Bertrand Russell, 《我为什么而活着》