序列的极限
上一章我们讨论了序列的极限，本节我们将进一步论述函数的极限。若将序列看成是定义在 $\N$ 中的函数，则在序列极限中，自变量只有一种变化状态。而在函数极限中的自变量却有六种不同的变化状态，这就导致函数极限的定义有各种不同的形式.为了避免繁琐，本节我们主要以自变量趋向于某一给定的点为规范来论述函数极限的定义和性质。
序列极限的定义
序列
定义1（序列）：序列（有时也称为数列）实质上就是一个从正整数集 $\N$ 到实数集 $\R$ 的一个映射 $f:\N \to \R$ ，但我们常将一个序列看做是按照一定顺序排列的一列数：
$$\begin{aligned} x_1 = f(1),x_2 = f(2),\cdots,x_n = f(n),\cdots \tag{1}\end{aligned}$$ 一个序列通常记为 $\set{x_n}$ ，其中 $x_n$ 称为通项。有时为了简单起见，我们也将构造一个序列的所有数作成的集合记为 $\set{x_n}$ ，即此时 $\set{x_n}=f(\N)$ 。注意“集合 $\set{x_n}$ ”和“序列 $\set{x_n}$ ”的区别。
例如，序列
的通项是 $\cfrac{1}{n}$ 。但在有时候序列的通项却很难用公式给出，如圆周率 $\pi$ 精确到小数点后 $n$ 位的有限小数组成的序列
$$\begin{aligned} 3,3.1,3.14,3.141,3.1415,\cdots \tag{3}\end{aligned}$$ 就不可能写出通项公式。
我们已经知道在任意两个实数之间必有有理数，有理数集的这一性质称为有理数集在实数集中的稠密性。使人吃惊的是，在数轴上密密麻麻分布的有理数的全体竟然可以排成一个序列。这个结论的证明见定理10。
序列极限的定义
序列的变化趋势
对于给定的一个序列 $x_n=\cfrac{1}{n}(n=1,2,\cdots)$ ,我们这里主要关心的是随着 $n$ 的增大，$x_n$ 的变化趋势。为此，我们首先必须说清楚“变化趋势”是什么意思。下面我们先看几个具体的例子。
例1：序列 $x_n=\cfrac{1}{n}(n=1,2,\cdots)$ 随着 $n$ 的增大，$x_n$ 从 $0$ 的右边越来越趋近于 $0$ 。
例2：序列 $x_n=\cfrac{(-1)^n}{n}(n=1,2,\cdots)$ 随着 $n$ 的增大，$x_n$ 时而在 $0$ 点的右边，时而在 $0$ 点的左边，但 $x_n$ 与 $0$ 的距离越来越趋近于 $0$ 。
例3：序列 $x_n$ 由下列法则确定：
$$\begin{aligned} x_{2n}=\cfrac{1}{2n},x_{2n+1}=\cfrac{1}{2^{2n+1}}(n=1,2,\cdots) \tag{4}\end{aligned}$$对于这一序列，虽然我们不能说，随着 $n$ 的增大，$x_n$ 与 $0$ 的距离越来越趋近于 $0$ ，但 $x_n$ 与 $0$ 的距离也是无限地接近于 $0$ ，只不过奇数项与偶数项接近零的速度不同而已。
例4：设 $\set{x_n}$ 由下式给出
$$\begin{aligned} x_{2n-1}=\cfrac{1}{n},x_{2n}=0(n=1,2,\cdots) \tag{5}\end{aligned}$$则 $x_n$ 有无穷多项为 $0$ ，而随着 $n$ 的增大，$x_{2n-1}$ 也无限地趋于 $0$ 。因此，随着 $n$ 的增大，整个序列也是趋近于 $0$ 的。
分析以上例子我们发现，当 $n$ 无限变大时，尽管它们的变化过程各具特点，但四个序列最终都无限地趋于一个常数 $a=0$ 。这种随着 $n$ 的增大可以无限地趋于一个常数的序列正是我们感兴趣的。那么怎样来精确地描述一个序列 $\set{x_n}$ 无限地趋于一个常数 $a$ 呢？也许大家会说，这是指 $x_n$ 与 $a$ 的差（随着n的增大）可以达到任意小的程度。显然，这只是一种描述性的说法，十分不宜于进行严格的数学推理和演绎。其实，给出其精确的定义并非一件易事，经过众多数学家的不懈努力和不断探索，直到19世纪才有了数学上的如下定义：
序列极限的定义
定义2：设 $\set{x_n}$ 是一个序列。若存在常数 $a \in \R$ ，使得 $\forall \varepsilon > 0,\exists N \in \N$ ，当 $n > N$ 时，有
$$\begin{aligned} |x_n-a| < \varepsilon \tag{6}\end{aligned}$$则称该序列是收敛的，并称 $a$ 为该序列的极限（或者说序列 $\set{x_n}$ 收敛于 $a$ ），记做 $\lim\limits_{n \to \infin}x_n=a$ 或 $x_n \to a(n \to \infin)$ 。若不存在 $a \in \R$ ，使得 $\set{x_n}$ 收敛于 $a$ ，则称之为发散序列。
在上述定义中，$\varepsilon$ 是事先给定的任意小的正数，若对 $\varepsilon_1 > 0$ ，我们己经找到了正整数 $N_1$ ，使得当 $N_1$ 时，有 $|x_n-a| < \varepsilon_1$ ，则对 $\forall \varepsilon_2 > \varepsilon_1$ ，当 $n > N_1$ 时,必有 $|x_n-a| < \varepsilon_1 < \varepsilon_2$ .所以，$\varepsilon$ 贵在“小”。此外，一般来说， $N$ 是依赖于 $\varepsilon$ 的， $\varepsilon$ 越小，所需的 $N$ 就会越大。对一个给定的正数 $\varepsilon$ ，如果 $N$ 是满足定义中的要求的正整数，则显然对任何比 $N$ 大的正整数也满足定义的要求。
现在我们来考查序列极限的几何意义.极限定义中的不等式
可以写成
$$\begin{aligned} a-\varepsilon < x_n < a+\varepsilon,\forall n > N \tag{8}\end{aligned}$$即
$$\begin{aligned} x_n \in U(a,\varepsilon)=(a-\varepsilon,a+\varepsilon) \tag{9}\end{aligned}$$因此，如果采用几何的语言，极限的定义可以表述为：$\forall \varepsilon > 0$ ，在 $a$ 的 $\varepsilon$ 邻域 $U(a,\varepsilon)$ 内包含了 $\set{x_n}$ 自某项之后的所有项。与之等价说法是： $\forall \varepsilon > 0$ ，在 $a$ 的 $\varepsilon$ 邻域 $U(a,\varepsilon)$ 外只有 $\set{x_n}$ 的有限项。
序列极限的例子
例5：证明 $\cfrac{n}{n+1}=1$ 。
〔证明(例5)〕对任意给定的 $\varepsilon > 0$ ，要使
$$\begin{aligned} \left|\cfrac{n}{n+1}-1\right|=\cfrac{1}{n+1}<\varepsilon \tag{10}\end{aligned}$$只需
$$\begin{aligned} n > \cfrac{1}{\varepsilon}-1 \tag{11}\end{aligned}$$由极限定义知，$\lim\limits_{n \to \infin}\cfrac{n}{n+1}=1$ 成立。
证毕
例6：证明 $\lim\limits_{n \to \infin}q^n=0(|q| < 1)$ 。
〔证明(例6)〕不妨设 $q \ne 0$ ，否则该序列为常序列 $x_n \equiv 0,n=1,2,\cdots$ ，所述极限自然成立。
$\forall \varepsilon > 0$ ，不妨设 $\varepsilon < 1$ ，要使
只要
$$\begin{aligned} n \ln |q| < \ln \varepsilon \tag{13}\end{aligned}$$注意这里 $\ln|q| < 0, ln \varepsilon < 0$ ，于是上式等价于
$$\begin{aligned} n > \cfrac{\ln \varepsilon}{\ln |q|} \tag{14}\end{aligned}$$因此取 $N= \left\lfloor \cfrac{\ln \varepsilon}{\ln |q|} \right\rfloor$ ，则当 $n > N$ 时，就有 $|q^n-0|<\varepsilon$ ，即 $\lim\limits_{n \to \infin}q^n=0$ 成立。
例7：证明 $\lim\limits_{n \to \infin}\cfrac{n^2-n+2}{3n^2+2n+4}=\cfrac{1}{3}$ 。
〔证明(例7)〕对任意正整数 $n$ ，我们有
$$\begin{aligned} \left|\cfrac{n^2-n+2}{3n^2+2n+4}-\cfrac{1}{3}\right| = \cfrac{5n-2}{3(3n^2+2n+4)} < \cfrac{5n}{9n^2} < \cfrac{1}{n} \tag{15}\end{aligned}$$于是，$\forall \varepsilon < 0$ ，只要取 $N = \left\lfloor \cfrac{1}{\varepsilon} \right\rfloor + 1$ ，则当 $n > N$ 时，就有
$$\begin{aligned} \left|\cfrac{n^2-n+2}{3n^2+2n+4}-\cfrac{1}{3}\right| < \cfrac{1}{n} < \varepsilon \tag{16}\end{aligned}$$这就证明了 $\lim\limits_{n \to \infin}\cfrac{n^2-n+2}{3n^2+2n+4}=\cfrac{1}{3}$ 。
证毕
例8：证明 $\lim\limits_{n \to \infin}\sqrt[n]{a}=1(a>1)$ 。
〔证明1(例8)〕$\forall \varepsilon > 0$ ，要使
$$\begin{aligned} |\sqrt[n]{a}-1|=\sqrt[n]{a}-1 < \varepsilon \tag{17}\end{aligned}$$只要 $\sqrt[n]{a}<1+\varepsilon$ ，两边取对数得 $\cfrac{1}{n}\lg a < \lg (1 + \varepsilon)$ ，这只要 $n > \cfrac{\lg a}{\lg(1+\varepsilon)}$ 。于是，取 $N = \left\lfloor \cfrac{\lg a}{\lg (1+\varepsilon)} \right\rfloor$ ，则当 $n > N$ 时，就有 $|\sqrt[n]{a}-1|<\varepsilon$ ，即
$$\begin{aligned} \lim\limits_{n \to \infin}\sqrt[n]{a}=1 \tag{18}\end{aligned}$$证毕
〔证明2(例8)〕令 $\sqrt[n]{a}-1=h_n$ ，则 $h_n > 0$ ，而且由二项式定理可得
$$\begin{aligned} a=(1+h_n)^n=1+nh_n+\cdots+(h_n)^{n} > nh_n \tag{19}\end{aligned}$$从而
$$\begin{aligned} 0 < h_n < \cfrac{a}{n},\quad \forall n \in \Z \tag{20}\end{aligned}$$这样 $\forall \varepsilon > 0$ ，要使 $|\sqrt[n]{a} < \varepsilon|$ ，只要 $\cfrac{a}{n} < \varepsilon$ 。现在取 $N=\left\lfloor \cfrac{a}{\varepsilon} \right\rfloor$ ，则只要 $n > N$ ，就有 $|\sqrt[n]{a} < \varepsilon| < \varepsilon$ ，即 $\lim\limits_{n \to \infin}\sqrt[n]{a}=1$ 。
证毕
用定义来证明极限的过程，实际上就是对于相对确定的正数去找相应的正整数的过程。换句话说就是，你任给我一个正数，我去给你找一个相应的正整数，在找的过程中，是相对固定的。而找的过程实质就是解不等式的过程。因此，为了使所解的不等式尽可能的简单，我们可以将所估计量做适当的放大（参见例7），但不能放得太大，要保证从中能够找到所需要的正整数。
发散序列
下面我们来讨论一下发散序列。如何用肯定的语气来表述一个序列是发散的呢？从定义知，一个序列是 $\set{x_n}$ 发散的等价于任何数 $a \in \R$ 都不是它的极限。这样，上述问题就转化为怎样用肯定的语气来表述 $\set{x_n}$ 不收敛于 $a$ 。大家已经知道，$\set{x_n}$ 收敛于 $a$ 意味着 $a$ 的任意小的邻域的外面只有序列中的有限多项。因此，若 $\set{x_n}$ 不收敛于 $a$ ，则存在 $a$ 的一个邻域 $U(a,\varepsilon_0)$ 使得在它之外必有的无穷多项。于是，若用肯定的语气，发散序列可以叙述为
定义3：设 $\set{x_n}$ 是一个序列。若 $\forall a \in \R$ ，$\exists \varepsilon_0 > 0$ ，对 $\forall N \in \N$ ，总存在 $n_0 > N$ ，使得 $|x_{n_0}-a|>\varepsilon_0$ ，则称 $\set{x_n}$ 为发散序列。
仔细观察上述的表述，不难发现，在发散序列的定义中，只是将极限定义中的“$\forall$ ”换成了“ $\exists$ ”，$\exists$ 换成了 $\forall$ 。尽管这样，我们还是希望读者能理解这样表述的实质，而不是形式地加以记忆。
例9：证明如下定义的序列是发散的。
$$\begin{aligned} x_n = \begin{cases} \cfrac{1}{n} & n=2k-1 \\[10pt] n & n=2k \end{cases} \quad k=1,2,\cdots \tag{21}\end{aligned}$$〔证明(例9)〕对任意给定的 $a \in \R$ ，取 $\varepsilon_0 = 1$，则对于任给的正整数 $N$ ，选取 $n_0 = 2k_0 > \max\set{N,a+1}$，其中 $k_0$ 为正整数，便有 $n_0 > N$ ，而且 $x_{n_0}-a=2k_0-a>1=\varepsilon_0$ ，即 $a$ 不是 $\set{x_n}$ 的极限。由 $a$ 的任意性知序列 $\set{x_n}$ 发散。
证毕
无穷小量
作为序列极限的特例，我们引入无穷小量的概念。
定义4：设 $\set{x_n}$ 是一个序列。若 $x_n \to 0(n \to \infin)$ ，则称序列 $\set{x_n}$ 为无穷小量，记 $x_n=\omicron(1)(n \to \infin)$ 。
这里需特别指出的是,无穷小量并不是一个很小的量,而是极限为零的一个变量。
例10：证明序列 $\Set{\cfrac{a^n}{n!}}$ 是无穷小量，这里 $a>1$ 。
〔证明(例10)〕注意到
$$\begin{aligned} \cfrac{a^n}{n!}=\cfrac{a}{1}\cdot\cfrac{a}{2}\cdots\cfrac{a}{\lfloor a \rfloor}\cdots\cfrac{a}{\lfloor a \rfloor + 1}\cdots\cfrac{a}{n} < \cfrac{a}{1}\cdot\cfrac{a}{2}\cdots\cfrac{a}{\lfloor a \rfloor} = C\cfrac{a}{n}\quad (n > \lfloor a \rfloor) \tag{22}\end{aligned}$$其中设 $C=\cfrac{a^{\lfloor a \rfloor}}{\lfloor a \rfloor!}$ 是常数。$\forall \varepsilon > 0$ ，要使
$$\begin{aligned} \left|\cfrac{a^n}{n!}-0\right|<\varepsilon \tag{23}\end{aligned}$$只需
$$\begin{aligned} n > \cfrac{Ca}{\varepsilon} \tag{24}\end{aligned}$$于是，取 $N=\left\lfloor \cfrac{Ca}{\varepsilon} \right\rfloor + 1$ ，则只要 $n>N$ ，就有
$$\begin{aligned} \left|\cfrac{a_n}{n!}-0\right| < \varepsilon \tag{25}\end{aligned}$$即 $\lim\limits_{n \to \infin}\cfrac{a^n}{n!}=0$ ，从而序列 $\set{\cfrac{a^n}{n!}}$ 是无穷小量。
证毕
例11：证明序列 $\set{x_n}$ 是无穷小量，其中
$$\begin{aligned} x_n = \begin{cases} \cfrac{1}{2^n} & n=2k-1 \\[10pt] \cfrac{1}{\sqrt{n}} & n=2k \end{cases} \quad n=1,2,\cdots \tag{26}\end{aligned}$$先来证明一个命题。
命题1： $\forall n \in \N$
$$\begin{aligned} 2^n > \sqrt{n} \tag{27}\end{aligned}$$〔证明(命题1)〕采用数学归纳法。$n=1$ 时显然成立。假设 $n=k$ 时 $2^k > \sqrt{k}$ 成立，往证 $n=k+1$ 时 $2^{k+1} > \sqrt{k+1}$ 成立。事实上
$$\begin{aligned} 2^{k+1}=2\cdot 2^k > 2 \sqrt{k} = \sqrt{4k} > \sqrt{k+1} \tag{28}\end{aligned}$$由数学归纳法可得命题成立。
证毕
现在来证明例11。
〔证明(例11)〕因为对 $\forall n \in \N$ ，由命题1有
$$\begin{aligned} \cfrac{1}{2^n} < \cfrac{1}{\sqrt{n}} \tag{29}\end{aligned}$$所以 $\forall \varepsilon > 0$ ，取 $N = \left\lfloor \cfrac{1}{\varepsilon^2} \right\rfloor$ ，则当 $n>N$ 时，有
$$\begin{aligned} |x_n - 0| \le \cfrac{1}{\sqrt{n}} < \varepsilon \tag{30}\end{aligned}$$即 $\lim\limits_{n \to \infin}x_n=0$ 。这就证明了序列 $\set{x_n}$ 是无穷小量。
证毕
定理1：设 $\set{x_n}$ 是一个序列。
(1) $\set{x_n}$ 是无穷小量的充分必要条件是 $\set{|x_n|}$ 是无穷小量。
(2) 若 $\set{x_n}$ 是无穷小量，$M$ 是一个常数，则 $\set{Mx_n}$ 是无穷小量。
(3) $\lim\limits_{n \to \infin}x_n=a$ 的充分必要条件是 $\set{x_n-a}$ 是无穷小量。
〔证明(定理1)〕(1) 先证必要性。若 $\set{x_n}$ 是无穷小量，则 $\lim\limits_{n \to \infin}x_n=0$ ，即 $\forall \varepsilon > 0$ ，$\exists N \in \N$ ，当 $n > N$ 时有 $|x_n| < \varepsilon$ ，而对序列 $\set{|x_n|}$ 来说，也有 $||x_n|| = |x_n| < \varepsilon$ ，故 $\lim\limits_{n \to \infin}\set{|x_n|}=0$ ，即 $\set{|x_n|}$ 是无穷小量。再证充分性，若 $\set{|x_n|}$ 是无穷小量，则 $\lim\limits_{n \to \infin}|x_n|=0$ ，即 $\forall \varepsilon > 0$ ，$\exists N \in \N$ ，当 $n > N$ 时有 $||x_n|| = |x_n| < \varepsilon$ ，而对序列 $\set{x_n}$ 来说，也有 $|x_n| < \varepsilon$ ，故 $\lim\limits_{n \to \infin}\set{x_n}=0$ ，即 $\set{x_n}$ 是无穷小量。
(2) 若 $\set{x_n}$ 是无穷小量，则 $\lim\limits_{n \to \infin}x_n=0$ ，即 $\forall \varepsilon > 0$ ，$\exists N \in \N$ ，当 $n > N$ 时有 $|x_n| < \varepsilon$ ，而对序列 $\set{Mx_n}$ 来说， $\forall \varepsilon' > 0$ 不妨令 $\varepsilon = \cfrac{\varepsilon'}{|M|}$ ，同样取 $n > N$ ，则 $|Mx_n| = |M|\cdot|x_n| < |M| \cdot \varepsilon = |M| \cdot \cfrac{\varepsilon'}{|M|} = \varepsilon'$ ，故 $\lim\limits_{n \to \infin}\set{|x_n|}=0$ ，即 $\set{|x_n|}$ 是无穷小量。
(3) 先证必要性。若 $\lim\limits_{n \to \infin}x_n=a$ ，则 $\forall \varepsilon > 0$ ，$\exists N \in \N$ ，当 $n > N$ 时有 $|x_n-a| < \varepsilon$ ，所以对序列 $\set{x_n-a}$ 来说也有 $|x_n-a-0| = |x_n-a| < \varepsilon$ ，因此 $\lim\limits_{n \to \infin}\set{x_n-a} = 0$ ，即 $\set{x_n-a}$ 是无穷小量。再证充分性，若 $\set{x_n-a}$ 是无穷小量，则 $\lim\limits_{n \to \infin}\set{x_n-a}=0$ ，则 $\forall \varepsilon > 0$ ，$\exists N \in \N$ ，当 $n > N$ 时有 $|x_n-a-0| < \varepsilon$ ，所以对序列 $\set{x_n}$ 来说也有 $|x_n-a| = |x_n-a-0| < \varepsilon$ ，因此 $\lim\limits_{n \to \infin}\set{x_n} = a$ 。
证毕
无穷大量
对于序列 $x_n=(-1)^n$ 和 $x_n=(-1)^nn(n=1,2,\cdots)$ 来说，虽然它们都不存在极限，但这两者有着本质的区别前者中的 $x_n$ 随着 $n$ 的增加在 $-1$ 和 $1$ 这两点上跳来跳去；而后者，则随着 $n$ 的增加，其绝对值目标一致地趋向 $\infin$ 。因此我们有如下定义
定义5：设 $\set{x_n}$ 是一个序列，若 $\forall M > 0$ ，$\exists N$ ，当 $n > N$ 时，有 $x_n > M$ ，则称 $\set{x_n}$ 为正无穷大量（有时也称 $\set{x_n}$ 的极限为 $+\infin$ ，记为 $\lim\limits_{n \to \infin}x_n = +\infin$ ）；若 $\forall M > 0$ ，$\exists N$ ，当 $n > N$ 时，有 $x_n < -M$ ，则称 $\set{x_n}$ 为负无穷大量（有时也称 $\set{x_n}$ 的极限为 $-\infin$ ，记为 $\lim\limits_{n \to \infin}x_n = -\infin$ ）；若 $\set{|x_n|}$ 是正无穷大量，则称 $\set{x_n}$ 为无穷大量（有时也称 $\set{x_n}$ 的极限为 $\infin$ ，记为 $\lim\limits_{n \to \infin}x_n = \infin$ ）。
显然，正无穷大量和负无穷大量都是无穷大量。具有有穷极限和无穷极限的序列有着本质的区别，必须加以区别。因此，当序列有有穷极限时，我们说它收敛于 $a$ 。当序列有无穷极限时，我们说它发散到 $+\infin$ 、$-\infin$ 或 $\infin$ ，如果没有特别说明，凡提到极限存在，均指有穷极限的情形。若包括无穷极限时，则说其广义极限存在，此时也说序列是广义收敛的。
例12：设 $x_n = 1 + \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{3} + \cdots + \cfrac{1}{n}(n=1,2,\cdots)$ ，证明 $\lim\limits_{n \to \infin}x_n = +\infin$ 。
〔证明(例12)〕注意到，当 $n > 2^k$ 时，有
$$\begin{aligned} x_n =& 1 + \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{4} + \cfrac{1}{5} + \cfrac{1}{6} + \cfrac{1}{7} + \cfrac{1}{8} + \cdots + \cfrac{1}{2^{k-1}+1} + \cfrac{1}{2^{k-1}+2} + \cdots + \cfrac{1}{2^k} + \cdots + \cfrac{1}{n} \\[10pt] > & 1 + \cfrac{1}{2} + \underbrace{\cfrac{1}{4} + \cfrac{1}{4}}_{2项} + \underbrace{\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{8}}_{4项} + \cdots + \underbrace{\cfrac{1}{2^k}+\cfrac{1}{2^k}+\cdots + \cfrac{1}{2^k}}_{2^{k-1}项} \\[10pt] = & 1 + \underbrace{\cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{2} + \cdots + \cfrac{1}{2}}_{(k-1)项} \\[10pt] = & 1 + \cfrac{k-1}{2} \\[10pt] = & \cfrac{k+1}{2} > \cfrac{k}{2} \tag{31}\end{aligned}$$故 $\forall M > 0$ ，要使
$$\begin{aligned} x_n > M \tag{32}\end{aligned}$$只需
$$\begin{aligned} k > 2M \tag{33}\end{aligned}$$这样取 $N=2^{\lfloor 2M \rfloor}+1$ ，则当 $n > N$ 时，有
$$\begin{aligned} x_n > \cfrac{k}{2} > \cfrac{\floor{2M} + 1}{2} > \cfrac{\floor{2M}}{2}=M \tag{34}\end{aligned}$$从而由极限定义知 $\lim\limits_{n \to \infin}x_n=+\infin$ 。
证毕
无穷大量和无穷小量之间有如下的关系：
定理2： $\set{x_n}$ 是无穷小量的充分必要条件是 $\Set{\cfrac{1}{x_n}}$ 是无穷大量，这里假定对任意的正整数 $n$ 有 $x_n \ne 0$ 。