函数的无穷级数和无穷乘积展开
在本文中，我们介绍一些在初等数学课程里不常讲到的关于函数的无穷级数展开，无穷乘积展开和渐近展开。
Bernoulli多项式和Bernoulli数
定义1（Bernoulli多项式）：称下列展开式给出的 $\varphi_n(x)(n=0,1,2,\cdots)$ 为Bernoulli多项式
$$\begin{aligned} \frac{te^{xt}}{e^t-1}=\sum_{n=0}^{\infin}\frac{t^n}{n!}\varphi_n(x) \tag{1}\end{aligned}$$左方的函数称为Bernoulli多项式的生成函数。级数在 $|t|<2\pi$ 时收敛，因为左方函数离 $t=0$ 最近的奇点是 $t=\pm 2\pi i$ （ $|t|<2\pi$ 时没有奇点故值有限）。