Legendre函数

  Legendre函数是一类特殊函数，在数学和物理学中扮演着重要的角色，特别是在涉及到球面和多项式近似的领域。作为一类正交多项式，勒让德多项式具有独特的性质，使其在数值分析、量子力学和电磁学等多个领域中广泛应用。尽管勒让德函数的应用十分广泛，但它们的理论基础及其数学性质同样值得深入研究。本篇文篇将重点探讨勒让德函数的定义、性质以及相关的数学工具，旨在为读者提供对这一重要数学对象的全面理解。

Legendre函数

普通Legendre函数

  定义1（Legendre方程）：将如下方程定义为Legendre方程（普通Legendre方程）

\[ (1-x^2)\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\nu(\nu+1)y=0 \tag{1} \]

   \(\nu\) 和 \(x\) 可以是任何复数。该方程的解称为Legendre函数（普通Legendre函数）。

连带Legendre函数

  定义2（连带Legendre方程）：将如下方程定义为连带Legendre方程

\[ (1-x^2)\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\left(\nu(\nu+1)-\frac{\mu}{1-x^2}\right)y=0 \tag{2} \]

  该方程的解称为连带Legendre函数。可以看到，定义1是连带Legendre方程在 \(\mu=0\) 时的特殊情况。
  该方程有三个奇点 \(-1,1,\infin\) ，而且都是正则奇点，指标分别为 \(\displaystyle\left(\frac{\mu}{2},-\frac{\mu}{2}\right),\left(\frac{\mu}{2},-\frac{\mu}{2}\right),\left(\nu+1,\nu\right)\) ，因此这个方程属于超几何方程类型。它的解也可以用超几何方程表达。由《特殊函数概论》2.9节(12)和(16)有该方程解为

\[ P \begin{Bmatrix} -1 & 1 & \infin & \\[10pt] \displaystyle\frac{\mu}{2} & \displaystyle\frac{\mu}{2} & \nu+1; & x\\[10pt] \displaystyle-\frac{\mu}{2} & \displaystyle-\frac{\mu}{2} & -\nu & \end{Bmatrix} =P \begin{Bmatrix} 1 & 0 & \infin & \\[10pt] \displaystyle\frac{\mu}{2} & \displaystyle\frac{\mu}{2} & \nu+1; & \displaystyle\frac{1-x}{2}\\[10pt] \displaystyle-\frac{\mu}{2} & \displaystyle-\frac{\mu}{2} & -\nu & \end{Bmatrix} \\[10pt] =\left(\frac{1-x}{2}\right)^{\frac{\mu}{2}}\left(1-\frac{1-x}{2}\right)^{\frac{\mu}{2}} \begin{Bmatrix} 1 & 0 & \infin & \\[10pt] 0 & 0 & \nu+\mu+1; & \displaystyle\frac{1-x}{2}\\[10pt] -\mu & -\mu & -\nu+\mu & \end{Bmatrix} \\[10pt] =2^{-\mu}(1-x^2)^{\frac{\mu}{2}}P \begin{Bmatrix} 1 & 0 & \infin & \\[10pt] 0 & 0 & \nu+\mu+1; & \displaystyle\frac{1-x}{2}\\[10pt] -\mu & -\mu & -\nu+\mu & \end{Bmatrix} \tag{3} \]

  在实际应用中最常见的是 \(\mu\) 和 \(\nu\) 都等于整数的情形。当 \(\mu\) 和 \(\nu\) 不是整数时，需要较多地用到超几何函数理论。

Legendre多项式

Legendre多项式的定义

  定义3（Legendre多项式）：Legendre多项式是如下Legendre方程的多项式解

\[ (1-x^2)\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+n(n+1)y=0\quad(n=0,1,2,\cdots) \tag{4} \]