无穷集合及其基数
什么是无穷？无穷之间能否比较大小？无穷有些什么特殊的性质？
本篇，将利用映射，特别是利用一一对应为工具，建立可数集、连续统，并研究它们的一些性质，从而得到无穷集合的特征性质。然后，把有穷集合元素的个数的概念推广到无穷集合，建立无穷集合的基数的概念，接着建立基数的比较与基数的算术运算。从而，无穷也有“大小”或“多少”之分。
在十九世纪下半叶，数学有了伟大的进展,其部分原因在于人们发展了数学证明的越来越有力的方法。在这些进展中，Georg·Cantor那个时代的伟大智士之一，他引进了无穷集合论，对Cantor的无穷集合论，Russel(B.Russell,1872-1970)于1910年曾说：“解决了先前围绕着数学无限的难题，可能是我们这个时代值得夸耀的最伟大的工作。”在Cantor的无穷集合论中孕育着强有力的方法和观念，使得数学家们把无穷多元素的集合当成一个完全存在的整体，而不仅仅是潜在的存在，使得证明常常成功。
无穷与有穷有着本质的区别“无穷”是不可捉摸的，包含着矛盾。Hausdorff(F.Hausdorff,1868-1942)在他的《集合论基础》(1914年)中做了相当巧妙的描述，他勾勒了无穷集合论这门学科的特点：“在这个领域中什么都不是自明的，其真实性陈述，常常会引起悖论(paradox)，而且似乎越有理的东西，往往是错的因此，在处理与无穷有关的问题时要特别小心，不能把有穷的规律想当然地用于无穷上。这一点，读者在数学分析中已有所体会。
因此，阅读本篇时，要着重掌握无穷集合有关的一些与有穷集合不同的性质，从而深刻地体会无穷的特征。本章所使用的主要工具是一一对应，而Cantor创造的“对角线法”是必须掌握的证明方法。
可数集
可数集的定义
自然数集合是最简单的无穷集合，人们对无穷集合的认识，最初也是从自然数集合开始的。对于自然数集合，人们已从集合的概念定义出“自然数”，并且建立了自然数集合的公理一Peano公理(G.Peano,1858-1932)，并由此证明了自然数集的性质，建立了自然数集上的算术运算。限于篇幅，我们不在这里进行这项工作，而是利用这些熟知的性质展开我们的讨论，这是安全的。
以下，无特殊声明时， $\N$ 总是代表自然数集，并且 $\N=\set{1,2,3,\cdots}$ 。其次，我们把“无穷”与“无限”视为同义词。类似地，把“有限”与“有穷”视为同义词。在讨论中，这些词可能交替出现。其次，如果从集合 $X$ 到集合 $Y$ 存在一个——对应（即双射），则称 $X$ 与 $Y$ 对等，并记为 $X \sim Y$ 。
定义1：如果从自然数集 $\N$ 到几何 $X$ 存在一个一一对应 $f:\N \to X$ ，则称集合 $X$ 是无穷可数集合。简称可数集或可列集。如果 $X$ 不是可数集且 $X$ 不是有限集，则称 $X$ 为不可数无限集，或简称为不可数集。
注意，我们把有限集既不看成不可数集合也不看成可数集。可数集与不可数集都是对无穷集合而言的。而无穷集合，在定义17中定义为不是有穷集合。
由于一一对应是可逆的且其逆也是一一对应，所以 $X$ 是可数集当且仅当存在一一对应 $g: X \to \N$ 。
由定义1，显然自然数集 $\N$ 是可数集。
两个可数集必是对等的，因为它们都对等于 $\N$ 。
可数集的推断
定理1：集合 $A$ 为可数集的充分必要条件是 $A$ 的全部元素可以排成无重复项的序列
$$\begin{aligned} a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots \tag{1}\end{aligned}$$因此 $A$ 可以写成 $A=\set{a_1,a_2,a_3,\cdots}$ 。
证毕
可数集的收缩
无限集必有可数子集
定理2：无限集 $A$ 必包含有可数子集。
〔证明(定理2)〕从 $A$ 中取一个元素，记为 $a_1$ 。因为 $A$ 是无限集，所以 $A \backslash \set{a_1}$ 仍是无限集，故可从 $A \backslash \set{a_1}$ 中再取一个元素，记为 $a_2$ 。一般地，假如已得到了不相同元素 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ ，那么由于 $A \backslash \set{a_1,a_2,\cdots,a_n}$ 是无限集，所以又可从 $A \backslash \set{a_1,a_2,\cdots,a_n}$ 中取一个元素，记为 $a_{n+1}$ 。如此继续下去，便得到了一个无限集合 $M=\set{a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots}$ 。由定理1知 $M$ 是可数集且 $M \sube A$ 。
证毕
可数集的无限子集必是可数集
定理3：可数集的任一无限子集也是可数集。
〔证明(定理3)〕设 $A$ 为可数集，则 $A$ 的全部元素可以排成一个没有重复项的无穷序列 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ 。设 $B$ 是 $A$ 的一个无穷子集。依次观上述序列，不时发现 $B$ 的元素，按发现 $B$ 的元素的早晚次序依次对应 $\N$ 的元素 $1,2,3,\cdots$ 。由于 $B \sube A$ ，所以 $\forall b \in B$ ，$b$ 必在上述序列中出现，从而必对应 $\N$ 中某元素。再由 $B$ 是无穷集便知 $B$ 是可数集合。
证毕
可数集去除有限集必是可数集
推论1：从可数集 $A$ 中去除一个有限集 $M$ ，则 $A \backslash M$ 仍是可数集。
〔证明(推论1)〕由于 $M$ 是有限集，则 $A \backslash M$ 也是无限集并且 $A \backslash M \sube A$ 。所以由定理3可知 $A \backslash M$ 也是可数集。
证毕
可数集的扩张
可数集与有限集的并是可数集
定理4：设 $A$ 是可数集，$M$ 是有限集，则 $A \cup M$ 是可数集。
〔证明(定理4)〕因 $A$ 是可数集，所以可设 $A=\set{a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots}$ 。令 $P = A \cap M$ 。由于 $M \backslash P \sube M$ 并且 $M$ 是有限集，因此 $M \backslash P$ 也是有限集。设 $M \backslash P = \set{b_1,b_2,\cdots,b_r}$ ，则由集合及其运算-(68)和集合及其运算-(120)可得
$$\begin{aligned} A \cap (M \backslash P) =& A \cap (M \backslash (A \cap M)) \\[5pt] =& A \cap ((M \backslash A) \cup (M \backslash M)) \text{（集合及其运算-(68)）}\\[5pt] =& A \cap ((M \backslash A) \cup \varnothing) \\[5pt] =& A \cap (M \backslash A)\\[5pt] =& \varnothing \text{（集合及其运算-(120)）} \tag{2}\end{aligned}$$并且由集合及其运算-(68)和集合及其运算-(119)可得
$$\begin{aligned} A \cup (M \backslash P) =& A \cup (M \backslash (A \cap M)) \\[5pt] =& A \cup ((M \backslash A) \cup (M \backslash M)) \text{（集合及其运算-(68)）} \\[5pt] =& A \cup ((M \backslash A) \cup \varnothing) \\[5pt] =& A \cup (M \backslash A) \\[5pt] =& A \cup M \text{（集合及其运算-(119)）} \tag{3}\end{aligned}$$因此 $A \cup M$ 的元素可以分成 $A$ 的元素和 $M \backslash P$ 的元素分别排列。因此 $A \cup M$ 的元素可以排列成
$$\begin{aligned} b_1,b_2,\cdots,b_r,a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots \tag{4}\end{aligned}$$因此由定理1知 $A \cup M$ 是可数集。
证毕
有限个可数集的并是可数集
定理5：设 $A_1,A_2,\cdots,A_n(n \ge 1)$ 都是可数集，则 $\bigcup_{i=1}^{n}A_i$ 也是可数集。
要证明该定理，先证明两个引理。
引理1：设 $A,B,C$ 是任意三个集合。若 $A \sube C$ ，则 $A \cap (B \backslash C) = \varnothing$ 。
〔证明(引理1)〕设 $x \in A \cap (B \backslash C)$ ，则 $x \in A$ 且 $x \in B \backslash C$ ，即 $x \in A$ 且 $x \in B$ 且 $x \notin C$ 。而由于 $A \sube C$ ，则 $x \in A$ 必有 $x \in C$ ，所以 $x \in A$ 且 $x \in B$ 且 $x \notin C$ 是不可能满足的，因此 $x$ 不存在，故 $A \cap (B \backslash C) = \varnothing$ 。
证毕
引理2：设 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是任意集合。若令 $B_1 = A, B_k = A_k \backslash \left(\bigcup_{i=1}^{k-1}A_i\right),k=2,3,\cdots,n$ ，则 $B_i \cap B_j = \varnothing,i \ne j, i,j=1,2,3,\cdots,n$ 且 $\bigcup_{i=1}^{n}A_i = \bigcup_{i=1}^{n}B_i$ 。当 $n \to \infin$ 时上式也成立。
〔证明(引理2)〕先证明 $B_i \cap B_j = \varnothing$ 。不妨设 $i < j$ ，则 $B_i \cap B_j = \left(A_i \backslash \left(\bigcup_{k=1}^{i}A_k\right)\right) \cap \left(A_j \backslash \left(\bigcup_{l=1}^{j}A_l\right)\right)$ 。由于 $i < j$ ，则 $A_i \backslash \left(\bigcup_{k=1}^{i}A_k\right) \sube A_i \sube \bigcup_{l=1}^{j}A_l$ ，因此由引理1可知 $B_i \cap B_j = \varnothing$ 。
接下来证明 $\bigcup_{i=1}^{n}A_i = \bigcup_{i=1}^{n}B_i$ 。实际上，反复利用集合及其运算-(119)可得
证毕
现在来证明定理5。
〔证明(定理5)〕假设 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是两两不相交的且令
$$\begin{aligned} A_1 = \set{a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n},\cdots} \\[5pt] A_2 = \set{a_{21},a_{22},\cdots,a_{2n},\cdots} \\[5pt] \cdots \\[5pt] A_n = \set{a_{n1},a_{n2},\cdots,a_{nn},\cdots} \tag{6}\end{aligned}$$则 $\bigcup_{i=1}^{n}A_i$ 的全部元素可以排成如下序列
$$\begin{aligned} a_{11},a_{21},\cdots,a_{n1},a_{12},a_{22},\cdots,a_{n2},a_{31},\cdots \tag{7}\end{aligned}$$由定理1知 $\bigcup_{i=1}^{n}A_i$ 是可数集。如果 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 不是两两不相交的，可以通过引理2将其转化为 $n$ 个两两不相交的集 $B_1,B_2,\cdots,B_n$ 。这其中假设有 $r$ 个集是可数的，则有 $r \ge 1$ ，因为 $B_1 = A_1$ 一定是可数的。而剩下 $n-r$ 个集是有限的。那么对这 $r$ 个集可由上述类似的方法证明其并集是可数的，再由定理4可知这些集的并集一定是可数的。
证毕
可数个有限集之并至多是可数集
定理6：可数个有限集之并至多是可数，即若 $A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots$ 是有限集的无穷序列，则 $\bigcup_{n=1}^{\infin}A_n$ 或为有限集，或为可数集。
〔证明(定理6)〕如果设 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 两两不相交，令
$$\begin{aligned} A_1 = \set{a_{11},a_{12},\cdots,a_{1k_1}} \\[5pt] A_2 = \set{a_{21},a_{22},\cdots,a_{2k_2}} \\[5pt] \cdots \\[5pt] A_n = \set{a_{n1},a_{n2},\cdots,a_{nk_n}} \\[5pt] \cdots \tag{8}\end{aligned}$$则 $\bigcup_{n=1}^{\infin}A_n$ 可以排成如下序列
$$\begin{aligned} a_{11},a_{12},\cdots,a_{1k_1},a_{21},a_{22},\cdots,a_{2k_2},\cdots,a_{n1},a_{n2},\cdots,a_{nk_n}\cdots \tag{9}\end{aligned}$$ 此时 $\bigcup_{n=1}^{\infin}A_n$ 为可数集。
而如果 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 不是两两不相交的，可以通过引理2将其转化为 $n$ 个两两不相交的集 $B_1,B_2,\cdots,B_n$ 。这其中假设有 $r$ 个集是可数的，而剩下 $n-r$ 个集是有限的。如果 $r=0$ ，则 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 的并集为有限的。如果 $r \ge 1$ ，则对这 $r$ 个集可由上述类似的方法证明其并集是可数的，再由定理4可知这些集的并集一定是可数的。
证毕
可数个可数集之并是可数集
定理7：设 $A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots$ 为可数集合的一个无穷序列，则 $\bigcup_{n=1}^{\infin}A_n$ 是可数集。即可数多个可数集之并使可数集。
〔证明(定理7)〕不妨设 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是两两不相交的。由于每个 $A_n$ 是可数集，所以可设 $A_1,A_2,\cdots$ 的全部元素可以排列成如下的无限表阵：
$$\begin{aligned} & A_1的元素排为a_{11}\to a_{12} \hspace{15pt} a_{13} \to a_{14} \cdots a_{1n} \cdots \\ & \hspace{75pt} \swarrow \hspace{18pt} \nearrow \hspace{18pt} \swarrow \hspace{18pt} \nearrow\\ & A_2的元素排为a_{21}\hspace{15pt} a_{22} \hspace{15pt} a_{23} \hspace{15pt} a_{24} \cdots a_{2n} \cdots \\ & \hspace{60pt} \downarrow \hspace{10pt} \nearrow \hspace{18pt} \swarrow \hspace{18pt} \nearrow \\ & A_3的元素排为a_{31}\hspace{15pt} a_{32} \hspace{15pt} a_{33} \hspace{15pt} a_{34} \cdots a_{3n} \cdots \\ & \hspace{75pt} \swarrow \hspace{18pt} \nearrow\\ & A_4的元素排为a_{41}\hspace{15pt} a_{42} \hspace{15pt} a_{43} \hspace{15pt} a_{44} \cdots a_{3n} \cdots \\ & \hspace{60pt} \downarrow \hspace{10pt} \nearrow \\ & \hspace{10pt} \vdots \hspace{10pt} \cdots \hspace{10pt} \cdots \hspace{28pt} \cdots \hspace{15pt} \cdots \hspace{15pt} \cdots \tag{10}\end{aligned}$$ 按表中箭头所指的方向对这些元素进行排列就得到了 $\bigcup_{n=1}^{\infin}A_n$ 的全部元素的一个序列。由定理2可知 $\bigcup_{n=1}^{\infin}A_n$ 是可数集。
如果 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 不是两两不相交的，可以通过引理2将其转化为 $n$ 个两两不相交的集 $B_1,B_2,\cdots,B_n$ 。这其中假设有 $r$ 个集是可数的，则有 $r \ge 1$ ，因为 $B_1 = A_1$ 一定是可数的。而剩下的 $n-r$ 个集是有限的。那么对这 $r$ 个集可由上述类似的方法证明其并集是可数的，再由定理4可知这些集的并集一定是可数的。
证毕
有限个可数集的Cartesian乘积是可数集
定理8：设 $A_1,A_2,\cdots,A_n(n \ge 2)$ 都为可数集，则 $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ 是可数集。
〔证明(定理8)〕对 $n$ 施归纳证明之。
当 $n=2$ 时，我们证明 $A_1 \times A_2$ 是可数集。为此，令 $A_1=\set{a_1,a_2,a_3,\cdots},A_2=\set{b_1,b_2,b_3,\cdots}$ 。对 $k=1,2,3,\cdots$ ，令 $B_k \set{(a_k,b_j)|j-1,2,3,\cdots}$ ，则 $B_k$ 是可数集，并且 $A_1 \times A_2 = \bigcup_{k=1}^{\infin}B_k$ 。由定理7可知 $A_1 \times A_2$ 是可数集。
假设 $n=k$ 时定理成立，往证当 $n=k+1$ 时定理也成立。为此，令 $D=A_1 \times A_2 \cdots \times A_k$ ，则由归纳假设 $D$ 是可数集。再由 $n=2$ 时的证明得 $D \times A_k$ 是可数集。显然，$A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_{k+1} \sim D \times A_{k+1}$ ，故 $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_{k+1}$ 是可数集。
因此，对一切 $n \ge 2$ ，$A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ 是可数集。
证毕
特殊的可数集
定理9：整数集 $\Z$ 是一个可数集。
〔证明(定理9)〕$\Z$ 中的元素可以通过下面的形式列出
$$\begin{aligned} 0,1,-1,2,-2,\cdots \tag{11}\end{aligned}$$因此由定理1可得 $\Z$ 是可数集。
定理10：全体有理数之集 $\Q$ 是可数集。
〔证明(定理10)〕令 $\Q = \Q_+ \cup \Q_- \cup \set{0}$ ，其中 $\Q_+$ 为 $\Q$ 中的所有正数之集，$\Q_-$ 为 $\Q$ 中所有的负数之集。显然 $\Q_+=\Q_-$ 。由 定理4和 定理5可知只需证明 $\Q_+$ 是可数集即可。我们知道，每个正有理数均可写成 $\cfrac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 与 $q$ 为自然数。于是，$\forall q \in \N$ ，令 $A_q = \set{\cfrac{p}{q}|p \in \N}$ ，则 $A_q$ 是可数集，并且 $\Q_+=\bigcup_{q=1}^{\infin}A_q$ 。由定理7可知 $\Q_+$ 是可数集。因此，$\Q$ 是可数集。
证毕
推论2：区间 $[0,1]$ 中的一切有理数之集是可数集。
〔证明(推论2)〕由于 $[0,1]$ 是有理数之集 $\Q$ 的一无限子集，因此由定理10和定理3可得 $[0,1]$ 也是可数集。
证毕
定理11：整系数代数多项式的全体是一个可数集。
〔证明(定理11)〕一个 $n$ 次整系数代数多项式可以表示为 $a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$ 。该代数多项式可以用一个 $n+1$ 元的有序对 $(a_0,a_1,\cdots,a_n)$ 表示，其中 $a_0,a_1,\cdots,a_n$ 是整数。而 $(a_0,a_1,\cdots,a_n)$ 与 $\overbrace{\Z \times \Z \times \cdots \times \Z}^{n+1个\Z}$ 对等。由定理9和定理8可知 $\overbrace{\Z \times \Z \times \cdots \times \Z}^{n+1个\Z}$ 是可数集。因此 $(a_0,a_1,\cdots,a_n)$ 是可数集，即整系数代数多项式的全体是一个可数集。
证毕
定义2：整系数代数多项式的根称为代数数。非代数数称为超越数。
推论3：代数数的全体是可数集。
〔证明(推论3)〕一个整系数代数多项式的根的数量不会超过 $n$ ，因此一个整系数代数多项式的根的集合是一个有限集。而由定理11可知整系数多项式的全体是可数集，而代数数的全体就是所有整系数多项式的根的并集，因此由定理6可知代数数的全体至多可数。但是，设 $a_1 \in \Z$ ，$x+a_1=0$ 的解 $x = -a_1$ 与 $\Z$ 对等，因此 $\Z$ 属于代数数。所以代数数是一个无限集，故代数数是一个可数集。
证毕
无限集的对等
定理12：设 $M$ 是一个无限集，$A$ 是有限或可数集，则 $M \sim M \cup A$ 。
〔证明(定理12)〕因为 $M$ 是个无限集，所以由定理2知 $M$ 必有一个可数子集 $D$ 。令 $P = M \backslash D$ ，则
$$\begin{aligned} M = P \cup D,M \cup A = P \cup (D \cup A) \tag{12}\end{aligned}$$由定理4知 $D \cup A$ 也是可数集，而两个可数集必对等（因为都对等于自然数集）。所以 $D \sim D \cup A$ ，而 $P \sim P$ ，因此 $M \sim P \cup A$ 。
证毕
定理13：设 $M$ 是一个无穷不可数集，$A$ 为 $M$ 的至多可数子集（即 $A$ 有穷或可数），则 $M \sim M \backslash A$ 。
〔证明(定理13)〕因为 $M$ 是无穷不可数集，$A$ 至多可数，所以 $M \backslash A$ 是无穷集。由定理12，$M \backslash A \sim (M \backslash A) \cup A$ ，由集合及其运算-(119)可知 $M \backslash A \sim M$ 。
证毕
实际上， $M$ 是无穷不可数集的假设可改为 $M$ 是无穷集且 $M \backslash A$ 也是无穷集。
由推论1及定理13得到，每个无穷集必与其身的某个真子集对等。但有限集却没有此性质。于是，得到无穷集的一个正面定义：
定义3：凡能与自身的一个真子集对等的集合称为无穷集合，或无限集合。
连续统集
上节讨论了无穷集中“最小的”集—可数集的性质。然而，是否存在不可数的无穷集呢？下面的定理14回答了这个问题。
定理14：区间 $[0,1]$ 中所有实数构成的集合是不可数无穷集合。
〔证明(定理14)〕区间 $[0,1]$ 中的每个实数，都可以写成十进制无限位小数形式 $0.a_1a_2a_3\cdots$ ，其中每位 $a_i \in \set{0,1,2,\cdots,9}$ 。其中某些数有两种表示形式，例如，$\cfrac{1}{2}=0.500\cdots=0.499\cdots$ 。$1=0.999\cdots=1.000\cdots$ 。约定每个有限位小数后均补以无限多 $0$ ，这样每个小数有唯一的十进制无穷位小数表示形式。假如定理14不成立，则 $[0,1]$ 中的全体实数之集是可数集。于是， $[0,1]$ 中的全体实数可排成一个无穷序列
$$\begin{aligned} a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots \tag{13}\end{aligned}$$每个 $a_i$ 写成十进制无限小数形式排成下表
$$\begin{aligned} a_1 = 0.a_{11}a_{12}a_{13}\cdots a_{1n}\cdots \\[5pt] a_2 = 0.a_{21}a_{22}a_{23}\cdots a_{2n}\cdots \\[5pt] a_3 = 0.a_{31}a_{32}a_{33}\cdots a_{3n}\cdots \\[5pt] \cdots \\[5pt] a_n = 0.a_{n1}a_{n2}a_{n3}\cdots a_{nn}\cdots \\[5pt] \cdots \tag{14}\end{aligned}$$其中 $a_{ij} \in \set{0,1,2,\cdots,9}$ 。今构造一个新的小数 $b$
$$\begin{aligned} b=0.b_1b_2b_3\cdots b_n\cdots \tag{15}\end{aligned}$$每个 $b_i \in \set{0,1,2,\cdots,9}$ ，其定义为
$$\begin{aligned} b_n = \begin{cases} 2,若a_{nn}=1 \\[5pt] 1,若a_{nn} \ne 1 \end{cases} \quad n=1,2,3,\cdots \tag{16}\end{aligned}$$显然 $b \in [0,1]$ 。但 $\forall n \in \N,b \ne a_n$ 。可是，$b \in [0,1]$ ，由假设，$b$ 又必须与某个 $a_n$ 相等，这就得到矛盾。所以，$[0,1]$ 中所有实数之集是不可数无穷集合。
证毕
定理14的证明中，构造 $a_1,a_2,\cdots$ 每个均不等的小数 $b=0.b_1b_2b_3\cdots$ 的方法称为“Cantor的对角线法”。其基本思想是 $b_1,b_2,b_3,\cdots$ 与(14)中“对角线”上的元素。$a_11,a_22,a_33$ 分别不相等，从而保证了 $b$ 与每个 $a_n$ 不等。Cantor创造的对角线法是一个强有力的证明方法，在函数论和计算机科学中有许多应用。在计算的复杂性理论和不可判定问题中，对角线法也是为数不多的几个重要方法之一。
连续统的定义
定义4：凡与集 $[0,1]$ 对等的集称为具有“连续统的势”的集，或简称连续统。
定理15：设 $a$ 与 $b$ 为实数且 $a < b$ ，则区间 $[a,b]$ 中的一切实数之集（仍记为 $[a,b]$ ）是一个连续统。
〔证明(定理15)〕令 $\varphi: [0,1] \to [a,b]$ 。$\forall x \in [0,1]$
$$\begin{aligned} \varphi(x)=a+(b-a)x \tag{17}\end{aligned}$$则 $\varphi$ 是一个一一对应，从而 $[0,1] \sim [a,b]$ 。因此，$[a,b]$ 是连续统。
证毕
定理16： $(a,b),[a,b),(a,b]$ 是连续统。
证毕
连续统的性质
有限个连续统的并集是连续统
定理17：设 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是 $n$ 个两两不相交的连续统，则 $\bigcup_{i=1}^{n}A_i$ 是连续统，即 $\bigcup_{i=1}^{n}A_i \sim [0,1]$ 。
〔证明(定理17)〕设
$$\begin{aligned} p_0 = 0 < p_1 < p_2 < \cdots < p_{n-1} < p_n =1 \tag{18}\end{aligned}$$则由定理16得到
$$\begin{aligned} A_1 \sim [0,p_1),A_2 \sim [p_1,p_2),\cdots,A_n \sim [p_{n-1},p_n] \tag{19}\end{aligned}$$由于 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 两两互不相交，以及
$$\begin{aligned} [0,1]=\bigcup_{i=1}^{n-1}[p_{i-1},p_i) \cup [p_{n-1},p_n] \tag{20}\end{aligned}$$便得到 $\bigcup_{i=1}^{n}A_i \sim [0,1]$ 。
证毕
无限个连续统的并集是连续统
定理18：设 $A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots$ 为两两互不相交的集序列。如果 $A_k \sim [0,1].k=1,2,\cdots$ ，则
$$\begin{aligned} \bigcup_{n=1}^{\infin}A_n \sim [0,1] \tag{21}\end{aligned}$$〔证明(定理18)〕令
$$\begin{aligned} p_0 = 0 < p_1 < p_2 < \cdots < p_n < \cdots,\lim\limits_{n \to \infin} = 1 \tag{22}\end{aligned}$$由定理16可知 $\forall k \in \N,A_k \sim [p_{k-1},p_k)$ ，所以得到
$$\begin{aligned} \bigcup_{n=1}^{\infin}A_n \sim [0,1] \tag{23}\end{aligned}$$证毕
特殊的连续统
推论4：全体实数之集是一个连续统。
〔证明(推论4)〕设 $A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots$ 满足 $A_1 =[0,1),A_2=[-1,0),A_3=[1,2),A_4=[-2,1),\cdots$ 。由定理16可知 $A_i,i=1,2,3,\cdots$ 是连续统且 $\bigcup_{i=1}^{\infin}A_i = \R$ 。所以由定理18可知 $\R$ 是连续统。
证毕
推论5：无理数之集是一个连续统。
〔证明(推论5)〕无理数之集可以表示为 $\R \backslash \Q$ ，其中 $\R$ 为实数集，$\Q$ 为有理数集。由推论4知 $\R$ 是一个连续统，由定理10知 $\Q$ 是一个可数集。由定理13可知 $\R \sim \R \backslash \Q$ 。因此无理数之集是一个连续统。
证毕
推论6：超越数之集是一个连续统。
〔证明(推论6)〕设代数数之集表示为 $A$ ，超越数之集表示为 $B$ ，则由定义2可知 $B = \R \backslash A$ 。而由推论3可知 $A$ 是一个可数集。由定理13可知 $\R \sim \R \backslash A$ ，因此 $B \sim \R$ 。又由推论4可知超越数之集是一个连续统。
证毕
二进制小数
为了证明连续统的更多的性质，我们需要二进制小数的概念。
记录数常用十进制，它有十个数字：$0,1,2,\cdots,9$ ，而逢十进一。$[0,1]$ 中的十进制小数 $d$ 表示为 $d=0.d_1d_2d_3\cdots$ ，其中 $0 \le d_i \le 9$ ，$i = 1,2,\cdots$ ，其意为
$$\begin{aligned} d = d_110^{-1}+d_210^{-2}+d_310^{-3}+\cdots \tag{24}\end{aligned}$$计数系统中，所用的不同数字的个数称为该记数系统的基。因此，十进制的基为“ $10$ ”。但十进制并不是表示数的唯一记数系统。在日常中还遇到12进制、24进制、60进制等记数系统。在计算机中用的是2进制，在这里只用两个数字：$0$ 和 $1$ 。
定义5：级数 $\sum_{n=1}^{\infin}a_n\cfrac{1}{2^n}$ 的和称为二进制小数，其中 $a_n \in \set{0,1},n=1,2,\cdots$ 。这个二进制小数记为
$$\begin{aligned} 0.a_1a_2a_3\cdots \tag{25}\end{aligned}$$每个形如(25)的二进制小数，是区间 $[0,1]$ 中的一个小数。反之，$[0,1]$ 中的任一十进制小数都可以写成二进制小数(25)的形式。
定理19：末位不全为 $1$ 的二进制小数（数 $1$ 的二进制表示除外）与 $[0,1]$ 对等。
〔证明(定理19)〕设 $d \in [0,1]$ 是一个十进制小数，令
$$\begin{aligned} d = \sum_{n=1}^{\infin}b_n2^{-n} \tag{26}\end{aligned}$$其中 $b_n \in \set{0,1},n=0,1,2,\cdots$ ，则
$$\begin{aligned} 2d = b_1 + \sum_{n=2}^{\infin}b_n2^{-n+1} \tag{27}\end{aligned}$$ 于是 $b_1 = \lfloor 2d \rfloor$ 。令 $d_1 = d - \lfloor 2d \rfloor$ ，则同理有 $b_2 = \lfloor 2d_1 \rfloor$ 。如此继续，就得到 $b_1,b_2,\cdots$ 。因此，便得到十进制数 $d$ 的二进制表示。
数 $1$ 和 $0$ 的二进制小数表示为
形如 $d=\cfrac{m}{2^n}(m=1,2,3,\cdots,2^n-1)$ 的十进制数，其二进制小数表示为
$$\begin{aligned} d = 0.b_1b_2\cdots b_{n-1}1000\cdots \tag{29}\end{aligned}$$或
$$\begin{aligned} d = 0.b_1b_2\cdots b_{n-1}0111\cdots \tag{30}\end{aligned}$$对 $[0,1]$ 中的其他十进制小数，其二进制表示是唯一的。
如果规定 $[0,1]$ 中的每个十进制小数的二进制表示中，不允许某位后全是 $1$ （数 $1$ 的二进制表示除外）的形式，则 $[0,1]$ 中的每个数都可唯一地表示成二进制小数。于是，我们得到：区间 $[0,1]$ 与二进制小数之集是一一对应的。
证毕
无穷序列
定理20：令 $B$ 为 $0,1$ 的无穷序列所构成的集合，则 $B \sim [0,1]$ 。
〔证明(定理20)〕令 $S$ 是从某项起后全为 $1$ 的无穷序列所构成的集合，则显然 $S$ 是可数集。$\forall a \in B \backslash S$ ，令 $a = \set{a_n}_1^\infin$ ，其中 $a_n \in \set{0,1},n=1,2,\cdots$ ，则令
$$\begin{aligned} \varphi(a)=0.a_1a_2a_3\cdots \tag{31}\end{aligned}$$则由定理19可知 $\varphi$ 是从 $B \backslash S$ 到 $[0,1]$ 的一一对应。从而 $B \backslash S \sim [0,1]$ 。因此由定理13可得 $B \sim [0,1]$ 。
证毕
由定理20我们有
定理21：令 $S=\set{f|f:\N \to \set{0,1}}$ ，则 $S \sim [0,1]$ 。于是，若 $A$ 为可数集，则 $2^A \sim [0,1]$ 。
〔证明(定理21)〕每一个 $f$ 都可以表示为 $f(0)f(1)f(2)f(3)\cdots$ 这样一个 $0,1$ 无穷序列，因此 $S$ 就是定理20中的 $0,1$ 无穷序列之集，因此 $S \sim [0,1]$ 。
由于定理23可知 $2^A \sim Ch(A)$ ，而由于 $A \sim \N$ ，$Ch(A) = \set{f|f:A \to \set{0,1}} \sim \set{f|f: \N \to \set{0,1}} \sim S \sim[0,1]$ ，所以当 $A$ 可数时，$2^A \sim [0,1]$ 。
证毕
定理22：正整数的无穷序列之集与区间 $[0,1]$ 对等。
〔证明(定理22)〕每个正整数都可以表示为一个二进制整数 $\sum_{n=0}^{\infin}a_n2^n,a_n \in \N$ 。因此，每个正整数可以唯一表示为一个 $0,1$ 无穷序列 $a_0a_1a_2\cdots$ 。所以，正整数的无穷序列之集就与 $0,1$ 无穷序列之集对等。因此由定理20可知正整数的无穷序列之集与区间 $[0,1]$ 对等。
证毕
连续统的Catesian乘积
定理23：设 $A_1,A_2$ 为连续统，则
$$\begin{aligned} A_1 \times A_2 \sim [0,1] \tag{32}\end{aligned}$$〔证明(定理23)〕由于 $A_1 \sim [0,1],A_2 \sim [0,1]$ ，所以 $\forall (x,y) \in A_1 \times A_2$ ，$x$ 对应的二进制小数为
$$\begin{aligned} 0.x_1x_2x_3\cdots \tag{33}\end{aligned}$$$y$ 对应的二进制小数为
$$\begin{aligned} 0.y_1y_2y_3\cdots \tag{34}\end{aligned}$$则令 $\varphi(x,y) = 0.x_1y_1x_2y_2$ 。易得 $\varphi$ 既是单射又是满射，即 $\varphi$ 为一一对应。因此
$$\begin{aligned} A_1 \times A_2 \sim [0,1] \tag{35}\end{aligned}$$证毕
推论7：平面上所有点的集合是一个连续统。
〔证明(推论7)〕平面上所有的点的集合 $\set{(x,y)|x,y \in \R}$ 与 $\R \times \R$ 对等。由推论4和定理23可知平面上所有点的集合是一个连续统。
证毕
定理24：若 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 均为连续统，则
$$\begin{aligned} A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n \sim [0,1] \tag{36}\end{aligned}$$证毕
定理25：设 $I \sim [0,1]$ ，并且 $\forall l \in I$
$$\begin{aligned} A_l \sim [0,1] \tag{37}\end{aligned}$$则 $\bigcup_{l \in I}A_l \sim [0,1]$ 。
〔证明(定理25)〕由于 $I \sim [0,1]$ 因此，$I \sim \set{y | y \in [0,1]}$ 。而由于 $A_l \sim [0,1]$ ，因此有 $A_l \sim \set{(x,y) | x \in [0,1]}$ 。因此，$\bigcup_{l \in I}A_l \sim [0,1] \times [0,1]$ 。而由定理23可知 $\bigcup_{l \in I}A_l \sim [0,1]$ 。
证毕
基数及其比较
基数的定义
定义6：集合 $A$ 的基数是一个符号，凡与 $A$ 对等的集合都赋以同一个记号。集合 $A$ 的基数记为 $|A|$ 。
也可以等价作如下定义。
定义7：所有与集合 $A$ 对等的集构成的集族称为 $A$ 的基数。
集合的基数也称为势、浓度。$A$ 的基数也有用 $\card A$ 表示。
基数比较的定义
定义8： $\alpha,\beta$ 是任意两基数，$A,B$ 是分别以 $\alpha,\beta$ 为其基数的集。如果 $A$ 与 $B$ 的一个真子集对等，但 $A$ 却不能与 $B$ 对等，则称基数 $\alpha$ 小于基数 $\beta$ ，记为 $\alpha < \beta$ 。并且规定 $\alpha \le \beta$ 当且仅当 $\alpha < \beta$ 或 $\alpha = \beta$ 。$\beta > \alpha$ 当且仅当 $\alpha < \beta$ 。$\beta \ge \alpha$ 当且仅当 $\alpha < \beta$ 或 $\alpha = \beta$ 。
显然，$\alpha \le \beta$ 当且仅当存在单射 $f:A \to B$ 。$\alpha < \beta $ 当且仅当存在单射 $f:A \to B$ 且不存在 $A$ 到 $B$ 的双射。
一般用 $a$ 表示可数集合的基数，$c$ 表示具有连续统之势之集的基数，则 $|\N|=a,|[0,1]|=c$ 。由定理14可知 $a < c$ 。
无穷集合的基数也称超穷数。
基数比较的性质
定理26（Cantor定理）：对任一集合 $M$ ，$|M| \le |2^M|$ 。
〔证明(Cantor定理)〕令 $i:M \to 2^M$ ，其定义为 $\forall m \in M,i(m)=\set{m}$ 。于是，$i$ 是 $M$ 到 $2^M$ 的单射，故 $|M| \le |2^M|$ 。为了完成订立的证明，我们还必须证明：如果 $f:M \to 2^M$ 是单射，则 $f$ 必不是满射。为此，令
$$\begin{aligned} X = \set{m|m \in M 且 m \notin f(m)} \tag{38}\end{aligned}$$显然，$X \in 2^M$ 。现在证明 $\forall x \in M,f(x) \ne X$ 。实际上，如果存在 $x_0 \in M$ 有能使 $f(x_0)=X$ ，则若 $x_0 \in X$ ，那么由 $X$ 的定义得到 $x_0 \notin X$ 。二若 $x_0 \notin X$ ，则再由 $X$ 的定义得到 $x_0 \in X$ 。总之，$x_0 \in X$ 与 $x_0 \notin X$ 分别都引出矛盾，这个矛盾便意味着不存在 $x_0 \in M$ 使得 $f(x_0)=X$ 。因此，$f$ 不是满射，从而 $|M| < |2^M|$ 。
证毕
由{
Cantor-Bernstein定理
Cantor-Bernstein定理证明
定理27（Cantor-Bernstein定理）：设 $A,B$ 是两个集合。如果存在单射 $f:A \to B$ 与单射 $g:B \to A$ ，则 $A$ 与 $B$ 对等。
先证明一个引理。
引理3：设 $A,B$ 是两个集合，若 $B \sube A$ ，则
$$\begin{aligned} A \backslash (A \backslash B) = B \tag{39}\end{aligned}$$〔证明(引理3)〕$\forall x \in A \backslash (A \backslash B)$ ，有 $x \in A$ 且 $x \notin A \backslash B$ ，即 $x \in A$ 并且有 $x \notin A$ 或 $x \in B$ ，即 $x \in A$ 且 $x \in B$ ，而由于 $B \sube A$，得 $x \in B$。因此 $A \backslash (A \backslash B) \sube B$ 。而 $\forall x \in B$ ，由于 $B \sube A$ ，有 $x \in A$ 且 $x \in B$ ，即 $x \in A$ 并且有 $x \notin A$ 或 $x \in B$ ，即 $x \in A$ 且 $x \notin A \backslash B$ ，也就是 $x \in A \backslash (A \backslash B)$ 。因此，$B \sube A \backslash (A \backslash B)$ 。故，$A \backslash (A \backslash B) = B$ 。
证毕
现在来证明Cantor-Bernstein定理。
〔证明(Cantor-Bernstein定理)〕设 $f:A \to B,g:B \to A$ 都是单射。令 $\varphi:2^A \to 2^A$ ，$\forall E \in 2^A$ ，
$$\begin{aligned} \varphi(E)=A \backslash g(B \backslash f(E)) \tag{40}\end{aligned}$$如果 $E \sube F \sube A$ ，则 $\varphi(E) \sube \varphi(F)$ 。因为
$$\begin{aligned} E \sube F \Rightarrow & f(E) \sube f(F) \\[5pt] \Rightarrow & B \backslash f(E) \supe B \backslash f(F) \\[5pt] \Rightarrow & g(B \backslash f(E)) \supe g(B \backslash f(F)) \\[5pt] \Rightarrow & A \backslash g(B \backslash f(E)) \sube A \backslash g(B \backslash f(F)) \tag{41}\end{aligned}$$令
$$\begin{aligned} \mathbf{D} = \set{E | E \sube A 且 E \sube \varphi(E)} \tag{42}\end{aligned}$$则 $\varnothing \sube \mathbf{D}$ 。又令
$$\begin{aligned} D = \bigcup_{E \in \mathbf{D}}E \tag{43}\end{aligned}$$则 $\forall E \in \mathbf{D}$ ，由 $E \sube D$ 便知 $E \sube \varphi(E) \sube \varphi(D)$ ，从而 $D \sube \varphi(D)$ （因为对所有 $E$ 都满足 $E \sube \varphi(D)$ ，所以 $\bigcup_{E \in \mathbf{D}}E = D$ 也满足 $D \sube \varphi(D)$ ）。于是，$\varphi(D) \sube \varphi(\varphi(D))$ ，故由(42)可得 $\varphi(D) \sube \mathbf{D}$ 。因此，$\varphi(D) \sube D$ ，所以
$$\begin{aligned} D = \varphi(D) = A \backslash g(B \backslash f(D)) \tag{44}\end{aligned}$$令 $h:A \to B$ ，$\forall x \in A$ ，定义
$$\begin{aligned} h(x)=\begin{cases} f(x),如果x \in D \\[5pt] g^{-1}(x)，如果x \in A \backslash D \end{cases} \tag{45}\end{aligned}$$ 其中 $g^{-1}$ 是视 $g$ 为 $B$ 到 $g(B)$ 时的一一对应时 $g$ 的逆（见与诱导映射的区别，所有单射都可以看做其定义域到值域的一一对应）。
首先证明 $h(x)$ 是映射。容易看出 $x \in D$ 时 $h(x)=f(x)$ 有定义。由于 $g(B \backslash f(D)) \sube A$ ，因此由(44)和引理3可知
所以当 $x \in A \backslash D$ 时，$x \in g(B \backslash f(D)) \sube g(B)$ ，所以也是有定义的并且 $g^{-1}(x) \in B \backslash f(D)$ ，因此 $h(x)$ 是映射。
再证明 $h(x)$ 是单射。设 $x,x' \in A,x \ne x'$ ，若 $x,x' \in D$ ，则由 $f$ 是单射可知 $g(x) \ne g(x')$ 。若 $x \in D$ 而 $x' \in A \backslash D$ ，则 $h(x)=f(x) \in f(D),h(x')=g^{-1}(x') \in B \backslash f(D)$ ，而 $f(D) \cap (B \backslash f(D)) = \varnothing$ ，因此 $h(x) \ne h(x')$ 。对于 $x \in A \backslash D$ 而 $x' \in D$ 的情况也类似。而对 $x,x' \in A \backslash D$ ，此时 $h(x)=g^{-1}(x),h(x')=g^{-1}(x')$ 。由于 $g^{-1}$ 是一个一一对应，因此 $h(x) \ne h(x')$ 。所以 $h$ 是单射。
最后证明 $h(x)$ 是满射。$\forall y \in B$ ，若 $y \in f(D)$ ，则 $\exists x \in D$ 使得 $y = f(x) = h(x)$ 。若 $y \in B \backslash f(D)$ ，则由 $g$ 是单射，存在唯一的一个 $x \in A$ 使得 $g(y)=x$ ，此时也有 $y = g^{-1}(x)$ 。而由(46)和 $y \in B \backslash f(D)$ 可知 $x \in A \backslash D$ ，即 $h(x)=g^{-1}(x)=y$ 。所以，$\forall y \in B$ ，都 $\exists x \in A$ 使得 $h(x)=y$ ，因此 $h$ 是满射。
综上所述，$h$ 是一个从 $A$ 到 $B$ 的一一对应。
证毕
Cantor-Bernstein定理的推论
推论8：设 $f:A \to B,g: B \to A$ 都是单射。令 $\varphi:2^A \to 2^A$ ，$\forall E \in 2^A$ ，$\varphi(E)=A \backslash g(B \backslash f(E))$ ，则 $\varphi$ 在 $2^A$ 中有一个不动点，即存在 $D \in 2^A$ 使得 $\varphi(D)=D$ 。
推论9：设 $\alpha,\beta$ 是任两个基数，则下三个式子
$$\begin{aligned} \alpha = \beta, \alpha < \beta, \beta < \alpha \tag{47}\end{aligned}$$的任两个式不能同时成立。
〔证明(推论9)〕$\alpha = \beta$ 与 $\alpha < \beta$ 不能同时成立，和 $\alpha = \beta$ 与 $\beta < \alpha$ 不能同时成立，可以直接从定义8得到。而 $\alpha < \beta$ 与 $\beta < \alpha$ 如果同时成立，则对任意 $|A| = \alpha,|B| = \beta$ ，则 $A$ 与 $B$ 的一个真子集对等，且 $B$ 与 $A$ 的一个真子集对等，但 $A$ 与 $B$ 不对等。这两个对等关系分别记为 $f$ 和 $g$ ，则 $f$ 和 $g$ 也可以看做是单射 $f:A \to B$ 和单射 $g: B \to A$ ，由Cantor-Bernstein定理可知 $A$ 与 $B$ 对等，这产生矛盾。所以不能同时成立。
证毕
推论10：如果基数 $\alpha$ 与 $\beta$ 满足 $\alpha \le \beta$ 且 $\beta \le \alpha$ ，则 $\alpha=\beta$ 。
〔证明(推论10)〕由定义8可知 $\alpha \le \beta$ 等价于 $\alpha < \beta$ 或 $\alpha = \beta$ ，而 $\beta \le \alpha$ 等价于 $\beta < \alpha$ 或 $\alpha = \beta$ 。由推论9可知，这两个条件要同时成立，只可能有 $\alpha = \beta$ 。
证毕
推论11：如果 $A_1 \sube A_2 \sube A$ 且 $A_1 \sim A$ ，则 $A_2 \sim A$ 。
〔证明(推论11)〕因为 $A_1 \sube A_2 \sube A$ ，所以 $|A_1| \le |A_2| \le |A|$ ，再由 $A_1 \sim A$ 可得 $|A_1| = |A|$ ，从而 $|A_2| \le |A_1|$ 。因此由推论10可得 $|A_1|=|A_2|=|A|$ 。
证毕
推论12：设 $\alpha,\beta,\gamma$ 为任意三个基数。如果 $\alpha \le \beta$ 且 $\beta \le \gamma$ ，则 $\alpha \le \gamma$ 。
〔证明(推论12)〕$\forall A \in \alpha,B \in \beta,C \in \gamma$ ，由于 $\alpha \le \beta$ 且 $\beta \le \gamma$ 可知存在单射 $f: A \to B,g: B \to C$ 。构造复合映射 $f \circ g: A \to C$ ，由定理8可知 $f \circ g$ 是单射。因此，$|A| \le |C|$ ，即 $\alpha < \gamma$ 。
证毕
基数的运算
加法
定义9：设 $\alpha$ 与 $\beta$ 是两个基数，$A$ 与 $B$ 是两个不相交的集合，$|A|=\alpha,|B|=\beta$ 。集合 $A \cup B$ 的基数 $\gamma$ 称为基数 $\alpha$ 与基数 $\beta$ 的和，并记为 $\alpha + \beta$ 。
乘积
定义10：设 $\alpha$ 与 $\beta$ 是两个基数，$A$ 与 $B$ 是两个不相交的集合，$|A|=\alpha,|B|=\beta$ 。则 $A \times B$ 的基数称为 $\alpha$ 与 $\beta$ 的积，记为 $\alpha \cdot \beta$ 或简记为 $\alpha\beta$ 。
幂
定义11：设 $\alpha$ 与 $\beta$ 是两个不同时为 $0$ 的基数，$A$ 与 $B$ 是两个不相交的集合，$|A|=\alpha,|B|=\beta$ 。则 $B^A = \set{f|f:A \to B}$ 的基数称为 $\beta$ 的 $\alpha$ 次幂，记为 $\beta^\alpha$ 。定义 $\beta^0=1$ 而 $0^\alpha=0$ 。
基数运算的性质
定理28：设 $\alpha,\beta,\gamma$ 为任意基数，则
(1)基数的加法和乘法满足交换律，即
$$\begin{aligned} \alpha + \beta = \beta + \alpha \tag{48}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \alpha\beta=\beta\alpha \tag{49}\end{aligned}$$
(2)基数的加法和乘法满足结合律，即
$$\begin{aligned} (\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma) \tag{50}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} (\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma) \tag{51}\end{aligned}$$
(3)基数的乘法对加法满足分配律，即
$$\begin{aligned} \alpha(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma \tag{52}\end{aligned}$$(4)幂运算的指数性质成立，即
$$\begin{aligned} \alpha^{\beta+\gamma}=\alpha^\beta\alpha^\gamma \tag{53}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} (\alpha^\beta)^\gamma=\alpha^{\beta\gamma} \tag{54}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} (\alpha\beta)^\gamma=\alpha^\gamma\beta^\gamma \tag{55}\end{aligned}$$
〔证明(定理28)〕任取集合 $A,B,C$ 满足 $|A|=\alpha,|B|=\beta,|C|=\gamma$ 且两两不相交。实际上，一定存在不相交的三个集合 $A,B,C$ 满足 $|A|=\alpha,|B|=\beta,|C|=\gamma$ ，否则令 $A'=\set{0} \times A,B' = \set{1} \times B,C' = \set{2} \times C$ 即可得到 $A',B',C'$ 三个不相交的集合且 $|A'|=|A|=\alpha,|B'|=|B|=\beta,|C'|=|C|=\gamma$ 。
(1) $|A|+|B|=|A \cup B| = |B \cup A| = |B| + |A|$ ，故 $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ 。$|A|\cdot|B| = |A \times B| = |B \times A| = |B| \cdot |A|$ ，故 $\alpha\beta=\beta\alpha$ 。
(2) $(|A|+|B|)+|C| = |A \cup B| + C = |(A \cup B) \cup C|=|A \cup (B \cup C)| = |A|+|B \cup C| = |A| + (|B| + |C|)$ ，故 $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$ 。而 $|(A \times B) \times C| = |\set{((a,b),c)|a \in A,b \in B, c \in C}|,|A \times (B \times C)| = |\set{(a,(b,c))|a \in A,b \in B, c \in C}|$ 。而 $\set{((a,b),c)|a \in A,b \in B, c \in C}$ 与 $\set{(a,(b,c))|a \in A,b \in B, c \in C}$ 是对等的，所以 $(\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma)$ 。
(3) 由集合及其运算-(105)可知 $|A|\cdot(|B|+|C|) = |A| \cdot (|B \cup C|) = |A \times (B \cup C)| = |(A \times B) \cup (A \times C)|=|A \times B| + |A \times C| = |A|\cdot|B|+|A|\cdot|C|$ ，因此 $\alpha(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma$ 。
(4) $|A|^{|B|+|C|} = |A|^{|B \cup C|} = |\set{f:B \cup C \to A}|$ 。由于 $B$ 和 $C$ 不相交，令 $f_1:B \to A$ 和 $f_2:C \to A$ 满足 $\forall x \in B,f_1(x)=f(x)$ 且 $\forall x \in C,f_2(x)=f(x)$ 。由此易得 $\set{f|f:B \cup C \to A}$ 与 $\set{(f_1,f_2)|f_1:B \to A,f_2: C \to A}$ 是一个一一对应。而 $\set{(f_1,f_2)|f_1:B \to A,f_2: C \to A} = \set{f_1|f_1:B \to A} \times \set{f_2|f_2: C \to A}$ 。所以 $|\set{f:B \cup C \to A}| = |\set{f_1|f_1:B \to A} \times \set{f_2|f_2: C \to A}| = |\set{f_1|f_1:B \to A}| \cdot |\set{f_2|f_2: C \to A}| = |A|^{|B|}\cdot|A|^{|C|}$ 。因此 $\alpha^{\beta+\gamma}=\alpha^\beta\alpha^\gamma$ 。
$|A|^{|B|\cdot|C|}=|A|^{|B \times C|} = |\set{f|f:B \times C \to A}|$ 。令 $f_c:B \to A,f':C \to B^A$ 。$\forall c \in C$ ，$f_c$ 定义为 $f_c(b)=a$ 当且仅当 $f(b,c)=a$ ，而 $f'$ 定义为 $f'(c)=f_c$ 。易得 $f$ 与 $f'$ 是一一对应的。所以 $|\set{f|f: B \times C \to A}|=|\set{f'|f': C \to f_c,f_c:B \to A}| = |\set{f_c|f_c:B \to A}|^{|C|}=(|A|^{|B|})^{|C|}$ 。所以 $(\alpha^\beta)^\gamma=\alpha^{\beta\gamma}$ 。
$(|A|\cdot|B|)^{|C|}=(|A \times B|)^{|C|}=|\set{f|f: C \to A \times B}|$ 。令 $f_1: C \to A,f_2:C \to B$ 满足若 $f(c)=(a,b)$ 当且仅当 $f_1(c)=a$ 且 $f_2(c)=b$ 。易得 $f$ 与 $(f_1,f_2)$是一个一一对应。所以 $|\set{f|f: C \to A \times B}|=|\set{(f_1,f_2)|f_1: C \to A,f_2: C \to B}| = |\set{f_1|f_1: C \to A} \times \set{f_2|f_2:C \to B}| = |\set{f_1|f_1: C \to A}| \cdot |\set{f_2|f_2:C \to B}| = |A|^{|C|}|A|^{|B|}$ 。因此 $(\alpha\beta)^\gamma=\alpha^\gamma\beta^\gamma$ 。
证毕
有限集、可数集与连续统的基数
定理29：设 $a$ 为可数集的基数，$c$ 为连续统的基数，$n \in \N$ 为某含 $n$ 的元素的有限集的基数，则
(1)
(2)
$$\begin{aligned} \forall n \in \N,n \cdot a = a \tag{57}\end{aligned}$$(3)
$$\begin{aligned} \forall n_i \in \N,\sum_{i=1}^{\infin}n_i \le a \tag{58}\end{aligned}$$(4)
$$\begin{aligned} \forall n \in \N,n \cdot c = c \tag{59}\end{aligned}$$(5)
$$\begin{aligned} a \cdot a = a \tag{60}\end{aligned}$$(6)
$$\begin{aligned} a \cdot c = c \tag{61}\end{aligned}$$(7)
$$\begin{aligned} c \cdot c = c \tag{62}\end{aligned}$$(8)
$$\begin{aligned} 2^a = c \tag{63}\end{aligned}$$(9)
$$\begin{aligned} (2^a)^a=2^a \tag{64}\end{aligned}$$(10)
$$\begin{aligned} a^a=2^a \tag{65}\end{aligned}$$ 〔证明(定理29)〕设 $A = \N$是一个可数集，$C=[0,1]$ 是一个连续统，$B_n = \set{b_1,b_2,\cdots,b_n}$ 是一个基数为 $n$ 的有限集。
(1) 由定理4易得。
(2) $A \times B_n = \set{(a,b_i)|a \in A,b_i \in B_n,i=1,2,\cdots,n}=\bigcup_{i=1}^{n}\set{(a,b_i)|a \in A}$ ，$\set{(a,b_i)|a \in A}$ 是一个可数集。由定理5可知 $A \times B_n$ 是一个可数集，故 $n \cdot a = a$ 。
(3) 由定理6易得。
(4) $B_n \times C = \set{(b_i,c)|c \in C,b_i \in B_n,i=1,2,\cdots,n}=\bigcup_{i=1}^{n}\set{(b_i,c)|c \in C}$ ，$\set{(b_i,c)|c \in C}$ 是一个连续统。由定理17可知 $B_n \times C$ 是一个可数集，故 $n \cdot c = c$ 。
(5) $a \cdot a = |A \times A| = |\bigcup_{i=1}^{\infin}\set{(a_i,a_j)|j = 1,2,\cdots}|$ 。而 $\set{(a_i,a_j)|j = 1,2,\cdots}$ 是一个可数集。所以由定理7可得 $A \times A$ 是一个可数集。因此 $a \cdot a = a$ 。
(6) $A \times C = \set{(a_i,c)|a_i \in A,c \in C}=\bigcup_{i=1}^{\infin}\set{(a_i,c)|c \in C}$ ，$\set{(a_i,c)|c \in C}$ 是一个连续统。由定理18可知 $A \times C$ 是一个可数集，故 $a \cdot c = c$ 。
(7) 由定理23易得。
(8) $2^a = |\set{f|f:\N \to \set{0,1}}|$ ，则由定理21易得 $2^a = c$ 。
(9) 由(54)和(5)可得 $(2^a)^a=2^{a \cdot a} = 2^a$ 。
(10) 由定理21和定理22易得。
悖论及公理化集合论介绍
悖论
悖论的定义
Cantor所处的时代正是古典分析基础面临着挑战，需要严密化的时代，应解除其“神密化”的时代。微积分的发明者Newton(I.Newton,1642-1727)和Leibniz(G.W.Leibniz,1646-1712)为微积分披上了一层神密化的面纱，他们引人了“无穷地小的量”、“最后比”、“无穷小不是零又可忽略”。他们要求的量是不为 $0$ 且必须为 $0$ ，这是两个矛盾的任务，这是不可能的。因而受到大主教Berkely(G.Berkely,1685-1753,英国哲学家)的攻击，他指出所谓无穷小既是 $0$ 又不等于 $0$ ，这是矛盾，是荒谬，因而作出结论说微积分没有任何合理的内容。
就今天的观点看，微积分的当时说法是有毛病，必须改正。贝克莱的攻击正说明微积分的基础不牢，从而促使当时及后来的数学家去认真思考，设法改进。但是，因为微积分有毛病，就大肆攻击，宣判微积分的死刑却是大错了。作为哲学家的贝克莱应该明白，任何一个科学出现了破绽，看起来不是十全十美的时候,正是这门科学快要飞跃发展的时候。
历史的进程正是，尽管贝克莱大主教宣判微积分的死刑，但微积分仍在迅速发展，而且在生产上有着重大的应用，理论上的毛病也得到了修正。修正后的微积分，不再使用无穷小无穷大等说法，而是把微积分的整个理论，建立在极限论之上，这便是今天的微积分。
在微积分的奠基过程中，Cauchy(A.Cauchy,1789-1857)详细而有系统地发展了极限论，Dedekind(R.Dedekind,1831-1916)在实数论的基础上证明了极限论的基本定理，还有Cantor和Weierstrass(K. Weierstrass,1815-1897)都加入了为微积分理论寻找牢固基础的工作，发展了极限理论。于是，严格的微积分理论建立在极限理上，而极限理论的一个基本定理是建立在实数理论上。所以，微积分理论的相容性(无矛盾)问题就归结为实数理论的相容性。所以，实数理论的相容性就是数学分析的中心论题，也是数学基础的中心问题。Dedekind和Cantor给实数的定义是以集合论为基础，所以实数理论的相容性又还原到集合论的相容性。另外，几何、代数的基础是群的概念。而群的概念就是一类特殊的集。于是，几何与代数的基础就是集合论。因此，集合论的相容性是整个数学相容性的支柱。
集合论占有这样重要的地位，难怪人们都注目于它，企图证明集合论是相容的，即无矛盾。对此，人们是这样地充满着信心,以致于在1900年巴黎的国际数学家大会上，大数学家Poincare(H.Poincare,1854-1912)曾宣称：“现在人们可以说，绝对的严格已经达到了。”
但事实上,集合论的诞生与发展，却又偏偏又出现了一系列的矛盾，人们称之为悖论(paradox)。所谓悖论，从字面上讲就是荒谬的理论。当前流行的说法是，悖论是一种导致逻辑矛盾的命题。这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的；如果承认它是假的，那么它又是真的。又如，悖论是指这样的一个命题 $A$ ，从 $A$ 出发，可以找到一个语句 $B$ ，然后,若假定 $B$ 真,则可推出 $B$ 假。而假如 $B$ 假，则又可推出 $B$ 真。诸如此类说法很多。但应该指出，任何一个悖论都是相对某个理论系统而言，只是有时这个理论系统没有明指或未详细建立而已。所以，有人主张采用Fraenkel(A.A.Fraenke,1891-1965)和Y.Bar-Hillerl的说法，即如果某个理论的公理和推理原则上看上去是合理的，但在这个理论中却推出一个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价形式。那么我们就说
这个理论包含了一个悖论。
Cantor悖论
Cantor悖论：在古典集合论中，1899年Cantor本人发现了一个悖论， 人们称之为Cantor悖论。这个悖论是这样的：我们知道，由Cantor定理知对任何集 $M$ 有 $|M|<|2^M|$ 。按Cantor的集合概念，可以有所有集合的集合 $U$ 。由Cantor定理得到 $|U| < |2^U|$ ，但 $U$ 是所有集所组成的集合，所以对任一 $X \in 2^U$ ，是一个集合且 $X \sube U$ ，并且 $X \in U$ 。因此，$2^U \sube U$ ，所以 $|2^A| \le |U|$ ，矛盾。这就是Cantor悖论，也叫做最大基数悖论。
Cantor悖论并未引起人们的注意，一则由于Cantor对此不加公开，二则也并不引起知情的数学家不安，认为这仅仅涉及到集合论中一些较为专门的技术性问题。例如，涉及较多的概念：集合、子集、幕集、基数及其比较等。人们认为可能是由于某些中间环节技术处理得不恰当所引起的。人们希望可能从中找出补救办法，对一些定理的证明作些调整和修改，便可解决问题。
Russell悖论(第三次数学危机)
Russell悖论：Russell仔细分析了Cantor提出的“集合”这个概念：Cantor说“把一定的且彼此可以明确区分的东西——东西可以是直观的对象，也可以是思维的对象——放到一起，叫做集。”发现集合可以分为两种：
第一种集是：集合本身不是自己的元素（ $M \notin M$ ）。
第二种集是：集合本身是自己的一个元素（ $M \in M$ ）。
例如，一切概念的集合；一切无穷集合的集合，它们都是第二种集。看来，按Cantor给出的集合概念，考虑集合是自身的一个成员的集合，并非荒谬。
凡集，不是第一种就是第二种，两种集彼此可明确识别。由Cantor的集合概念，第一种集合的全体组成一个集合 $Q$ 。于是，$Q$ 是第一种集合还是第二种集合呢？如果 $Q$ 是第一种集，则 $Q \in Q$ ，即 $Q$ 是 $Q$ 的成员。可是， $Q$ 是 $Q$ 的一个成员这不正是表明 $Q$ 是第二种集吗？从而 $Q \notin Q$ ，矛盾。如果 $Q$ 是第二种集，则 $Q \in Q$ ，即 $Q$ 是 $Q$ 的成员，则按 $Q$ 的定义知 $Q$ 又不是 $Q$ 的成员，即 $Q \notin Q$ ，矛盾。这样， $Q$ 既不是第一种集合又不是第二种集合，这就矛盾。这个矛盾就是Russell发现的“集合论是自相矛盾的”，即Russell悖论。
这个悖论是Russell在1902年发现的，它只涉及集合论的基本概念，清晰明确不容辩驳，因而相当初等。这个消息一传出，震动了整个数学界和西方国家的哲学界，使许多数学家大惊失色。因为集合论的基础和根本理论领域中出现悖论，这表明集合论的基础还未奠定，从而数学怎能安如磐石呢？不但如此，悖论对演绎逻辑推理也提出了问题，只要把Russell悖论从形式上稍加改变，就可以在逻辑上得出矛盾。
历史上虽然有许多悖论，为什么以前人们不因这些悖论而震惊，而现在却大为震惊呢？以前的悖论都依赖于具体事实，悖论的出现只表明所假定的事实不能出现、是幻想,与逻辑与数学无关。
但是，Cantor悖论，特别是Russell悖论，产生于初级理论水平之中，并涉及两门严谨的科学——数学和逻辑学。在数学中经常使用下列过程：任给一个条件，满足这个条件的一切个体必组成一个集合。只要承认这个过程，那么Russell悖论便会发生。如要不承认这个过程，数学中经常使用的方法就要改变，这将产生巨大的影响。
那么问题的毛病出在何处呢？Russell悖论只涉及集合的概念，看来Cantor的集合概念蕴含着矛盾。数学先驱们分析了悖论，并给出了各自的看法。有的认为悖论的出现在于使用了太大的集合，也有的认为不在于出现太大的集合，而在于这些太大的集合用作其他集合的元素或自身的元素，所以防止太大的集合作为别的集合的元素，特别要防太大的集合作为自身的元素；有的则认为悖论的出现在于恶性循环，即被定义的东西已渗入到它的定义里去了。虽然并未得出一致的意见，但有一点看来比较一致，即Cantor的概括原则的那种任意造集应加以限制。
公理化集合论
ZF系统
为了消除悖论，人们建立集合论的公理系统，在保留概括原则中之合理因素前提下，对造集的任意性加以限制。在公理集合论中已出现的悖论都消掉了。
在公理系统中，只承认按系统中公理所允许的限度内构造出来的集合才是集合，凡是超出系统中的公理所允许的限度而构造出来的集合概不承认是集合。特别是所有的集合的集合不被该系统承认为集合。1908年Zermelo建立了他的集合论公理系统，后来Fraenkel等人在1921-1923年间给出严格的解释和改进，形成了今天著名的ZF系统。加上选择公理，便是ZFC系统。接下来我们叙述ZFC公理系统内的公理，并一步一步讨论ZFC公理系统内的集合是如何被构建的，以及随着构建的集合越来越多，又是如何加以限制的。
首先明确的一点是，ZFC公理系统内所有的元素都是集合。因此，要构建符合ZFC公理系统的元素，得有一个初始集合，这个集合就是空集 $\varnothing$ 。因此，我们先定义这个空集 $\varnothing$ 。
公理1（空集公理）：存在一个不包含任一元素的集合 $\varnothing$ 。
$$\begin{aligned} \exists \varnothing \forall x(x \notin \varnothing) \tag{66}\end{aligned}$$这个空集 $\varnothing$ 是所有集合当中最小的（基数最小）。由此，我们逐步通过空集构造出满足ZFC公理系统的集合。
公理2（外延公理）：如果两个集合有完全相同的元素，则它们相等。
$$\begin{aligned} \forall A \forall B (\exists x(x \in A \Harr x \in B) \Rarr A = B) \tag{67}\end{aligned}$$外延公理定义了两个集合的相等关系。这种相等关系是所有相等关系中最基本的，实际上，所有定义的相等关系（比如实数的相等）最后都可以归结到外延公理中集合的相等的定义。同时，外延公理保证了只能有一个空集 $\varnothing$ 。
公理3（配对公理）：对任何集合 $u$ 和 $v$ 。存在一个集合恰好以 $u$ 和 $v$ 为元素。
$$\begin{aligned} \forall u \forall v \exists B \forall x (x \in B \Harr x=u \lor x=v) \tag{68}\end{aligned}$$推论13：如果集合 $A$ 是合法的，则 $\set{A}$ 也是合法的。
〔证明(推论13)〕配对公理允许 $u$ 和 $v$ 相等。设 $u=v=A$ 即得 $\set{A}$ 合法。
证毕
配对公理是我们遇到的第一个能构造新集合的公理。配对公理允许一个集合包含现有的集合，也允许将两个现有的集合结合起来构成一个新的集合。比如我们现在可以构建一个包含 $\varnothing$ 的集合 $\set{\varnothing}$ ，也可以再构建一个包含 $\varnothing$ 和 $\set{\varnothing}$ 的集合 $\set{\varnothing,\set{\varnothing}}$，或者 $\set{\set{\varnothing}}$ 。通过有限个步骤我们可以构造出许多类似这样的有限集合，但是注意，该公理不能生成包含无限集合的元素。
公理4（并集公理）：对任意集合 $A$ ，存在一个集合 $B$ ，它的元素正好是 $A$ 的元素的元素（也就是 $A$ 中元素的并集）。
$$\begin{aligned} \forall A \exists B \forall x(x \in B) \Harr \exists b (x \in b \land b \in A)) \tag{69}\end{aligned}$$虽然配对公理已经能构造新集合了，但是它只能把两个现有的集合结合到一起，但却不能把集合中的元素结合到一起。并集公理弥补了这一缺点，它能直接把两个集合现有的元素合并到一起来。但是到这里时，依然是无法生成包含无限元素的集合的。
在讲下一个公理之前，我们先使用并集公理尝试着用递归的方法生成一个无限集合。
定义12（归纳集合）：对任何集合 $a$ ，它的后继 $a^+$ 定义为
$$\begin{aligned} a^+ = a \cup \set{a} \tag{70}\end{aligned}$$若 $A$ 满足 $\varnothing \in A$ 且在后继下封闭，即
$$\begin{aligned} (\forall a \in A)a^+ \in A \tag{71}\end{aligned}$$时，称 $A$ 是归纳集合。
这个无限集合合法吗？这就引出了无穷公理，它保证了这样生成的集合是合法的。
公理5（无穷公理）：存在归纳集合。
$$\begin{aligned} \exists A (\varnothing \in A \land (\forall a \in A)a^+ \in A) \tag{72}\end{aligned}$$到这里，集合已经有了“质”的飞跃，从有限转向了无限。实际上，利用无穷公理，我们已经能定义自然数集合了（见自然数集的von Neumann构造）。于是，自然数集合是公理系统中的合法集合。
公理6（幂集公理）：对任何集合 $a$ 存在一个集合，它的元素恰好是 $a$ 的所有子集。
$$\begin{aligned} \forall a \exists B \forall x (x \in B \Harr x \sube A) \tag{73}\end{aligned}$$这里的“ $x \sube a$ ”可以改为 $\in$ 的定义形式
$$\begin{aligned} \forall t ( t \in x \Rarr t \in a) \tag{74}\end{aligned}$$公理7（子集公理）：对每个不包含 $B$ 的公式 $P(x)$ ，下式是公理。
$$\begin{aligned} \forall A \exists B \forall x(x \in B \Harr x \in A \land P(x)) \tag{75}\end{aligned}$$若用汉语叙述，这个公理断言：对任何的 $A$ 及 $P(x)$ 存在这样的一个集合 $B$ 的元素正好是 $A$ 中所有使公式 $P(x)$ 成立的那些集合 $x$ 。 于是，自然得到 $B$ 是 $A$ 的子集的结论（子集公理之名由此而来）。集合 $B$ 由 $A$ 和 $P(x)$ 唯一确定，并可抽象地记为
$$\begin{aligned} B = \set{x | x \in y 且 P(x)} \tag{76}\end{aligned}$$这条公理保留了Cantor利用概括原则构造集合的合理因素，并限制只能利用已知的集合去分出集合，从而避免导至太大的集合。
公理8（代换公理）：对任何不包含字母 $B$ 的公式 $\varphi(x,y)$ ，下述公式是公理
$$\begin{aligned} \forall A ((\forall x \in A)\forall y_1 \forall y_2(\varphi(x,y_1) \land \varphi(x,y_2) \Rarr y_1 = y_2) \Rarr \exists B \forall y(y \in B \Harr (\exists x \in A)\varphi(x,y))) \tag{77}\end{aligned}$$此公理的公式之前件是说对 $A$ 的每个元素 $x$ 存在一个唯一的 $y$ 使得中 $\varphi(x,y)$ 为真。如果这个前件为真，则代换公理断言存在集合 $B$ ，它恰好是由 $A$ 中的每个 $x$ 所对应的那 $y$ 组成的集合，即用 $x$ 的对应元素 $y$ 代替 $x$ 而得到 $B$ 。
公理9（正则公理）：每个非空集合 $A$ 都存在着一个元素 $m$ 使得 $m \cap A = \varnothing$ 。
$$\begin{aligned} (\forall A \ne \varnothing)(\exists m \in A)m \cap A = \varnothing \tag{78}\end{aligned}$$推论14：不存在以自身为元素的集合。
〔证明(推论14)〕反证。如果存在一个集合 $A$ 使得 $A \in A$ 。这时，根据配对公理可知存在集合 $B$ 使 $B$ 中仅有元素 $A$ ，即 $B = \set{A}$ ，而根据正则公理，必须有 $A \cap B = A \cap \set{A} = \varnothing$ ，但是根据我们的假定 $A \in A$ ，所以 $A \cap \set{A} = \set{A}$ ，矛盾。所以不存在以自身为元素的集合。
证毕
因此，正则公理说明了Cantor悖论和Russell悖论中的集合是非法的，所以在ZF公理系统内该悖论不存在。
需要注意的是，正则公理是有点反直觉的。比如自然数集 $\N$ ，表面上看它里面没有元素是一个空集啊？但是实际上，根据自然数集的von Neumann构造，自然数集实际上是从空集中构造出来的，$0$ 就是空集，而且每一个自然数 $n$ 都是一个包含空集的集合。ZFC公理系统内的代数系统几乎都直接或间接由自然数集构造出来，所以我们现在遇到的所有抽象的或具体的集合，都可以归结到自然数集上，也就是所有集合都是包含空集的。
上述九条公理构成了ZF系统。
ZFC系统
如果在ZF系统中再加入选择公理，这十条公理就构成了ZFC系统。
公理10（选择公理）：令 $\mathbf{A}$ 是这样一种集合：
(1) $\mathbf{A}$ 中的每个元素是非空集合。
(2) $\mathbf{A}$ 中的任两个不同元素是不相交的。
那么存在集合 $C$ 使得 $C$ 恰好包含 $\mathbf{A}$ 的每个元素中的一个元素，即 $\forall B \in \mathbf{A}$ ，$C \cap B$ 是某个 $x$ 的单元素集 $\set{x}$ 。
人们希望证明ZFC系统无矛盾，从而严格的微积分理论就能在ZFC系统上建立起来了。但是，ZFC系统的无矛盾性至今未得到证明。因此，至今仍不能保证在ZFC系统中今后不会出现悖论。不过，在ZFC系统中已能排除已经发现的悖论，至今尚未发现其他悖论。对此，Poincaré(H.Poincaré,1857-1912)指出：“我们设置栅栏，把羊群围住，免受狼的侵袭，但是很可能在围栅栏时就已经有一只狼被围在其中了。”
在ZFC系统中，外延公理和正则公理用来刻划集合的性质的，而其余各公理是断定集合的存在公理。其中选择公理并未给出构造新的集合的具体方法，只是断定其存在，并且未必唯一。对于选择公是否可以接受的问题，数学界有过很大的争论，因而引起了许多关于它在现代数学的逻辑构成内所占有的实际地位的研究。Zermelo的选择公理中并未指明如何构造新的集合 $L$ 这个问题可以不考虑。问题是假设上存在，在以后的逻辑推导中，是否会产生矛盾，这是问题的关键。因为 $L$ 还没有构造，那么怎样判断一物是否属于 $L$ 呢？因此，一些学者不同意承认 $L$ 是一个数学对象。然而，如果不承认选择公理，那么关于数学分析的若干基本定理便不能得到证明。在证明任一个无穷集必有可数无穷子集时，我们就已利用了选择公理了。另一方面，若承认选择公理，则又能证明个“怪”定理，如Banach-Tarski分球定理。不过，在近代的数学研究中，大量使用选择公理。
Gödel不完备定理
Gödel不完备定理是Kurt·Gödel于1931年证明并发表的两条定理。
定理30（Gödel第一不完备定理）：任何逻辑自洽的形式系统，只要蕴涵Peano算数公理，就可以在其中构造在体系中不能被证明的真命题，因此通过推理演绎不能得到所有真命题（即体系是不完备的）。
定理31（Gödel第二不完备定理）：任何逻辑自洽的形式系统，只要蕴涵Peano算数公理，它就不能用于证明其本身的自洽性。
〔证明(Gödel第一不完备定理,Gödel第二不完备定理)〕这两条定理的证明见[点此查看]。
证毕
由Peano公理的证明可知，ZFC公理系统正是蕴含Peano公理的。所以ZFC公理系统是一个典型的不能证明其本身的自洽性的逻辑系统，并且存在不可被证真也不可被证伪的命题。实际上，一个典型的这种命题就是连续统假设。
猜想1（连续统假设）：不存在一个集合的基数大于自然数集 $\N$ 且小于实数集 $\R$ 。
我崇拜流浪、变化和幻想，不愿将我的爱钉在地球某处。― Hermann Hesse, 《克林索尔的最后夏天》