曲线论
在本文，我们要给出在 $E^3$ 中刻画曲线形状的几何不变量，即曲线的弧长、曲率和挠率，这些量可以用坐标来表示，但是它们与空间 $E^3$ 中的Cartesian直角坐标系的选择是无关的，并且当曲线在空间萨中作刚体运动时这些量也是保持不变的。最后，我们要证明这三个量构成了空间曲线的完全不变量系统，即给出了曲率和挠率作为弧长的函数，则在空间 $E^3$ 中除了位置以外唯一地确定了一条曲线以给定的函数为它的曲率和挠率，这就是所谓的曲线论基本定理。在方法上至为重要的是，在空间曲线的每一点依附了一个正交标架，称为Frenet标架．当点在曲线上运动时，Frenet标架跟着一起运动，而且它的运动状态正好刻画了曲线的形状特征。
正则参数曲线
参数曲线
在本节我们要对所研究的曲线做一些假定。在直观上，$E^3$ 中的一条曲线是指 $E^3$ 中的一个点随时间的变化而运动时所描出的轨迹。换言之，$E^3$ 中的一条曲线 $C$ 是从区间 $[a,b]$ 到 $E^3$ 中的一个连续映射，记为
$$\begin{aligned} p:[a,b]\to E^3 \tag{1}\end{aligned}$$称为参数曲线。在 $E^3$ 中取定一个正交标架 $\set{O;\bm{i},\bm{j},\bm{k}}$ ，则曲线 $C$ 上的点 $p(t)(a\le t \le b)$ 和向量 $\overrightarrow{Op(t)}$ 是等同的。命 $\bm{r}(t)=\overrightarrow{Op(t)}$ ，则 $\bm{r}(t)$ 可以用标架向量 $\bm{i},\bm{j},\bm{k}$ 表示为
$$\begin{aligned} \bm{r}(t)=x(t)\bm{i}+y(t)\bm{j}+z(t)\bm{k} \tag{2}\end{aligned}$$这样，(1)的映射等价于三个实函数 $x(t),y(t),z(t)$ 。因此，我们通常在固定的Cartesian直角坐标系 $\set{O;\bm{i},\bm{j},\bm{k}}$ 下把曲线 $C$ 直接记成
$$\begin{aligned} \bm{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))\quad t \in [a,b] \tag{3}\end{aligned}$$其中 $t$ 是曲线参数，上式称为曲线 $C$ 的参数方程。
切线
由导数的定义可知
$$\begin{aligned} \bm{r}'(t)=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\bm{r}(t+\Delta t)-\bm{r}(t)}{\Delta t}=(x'(t),y'(t),z'(t)) \tag{4}\end{aligned}$$ 如果坐标函数 $x'(t),y'(t),z'(t)$ 是连续可微的，则称曲线 $\bm{r}(t)$ 是连续可微的，并且与Cartesian坐标系无关（因为Cartesian坐标变换是线性变换）。
导数 $\bm{r}(t)$ 有明显的几何意义。$\bm{r}(t+\Delta t)-\bm{r}(t)$ 表示从点 $\bm{r}(t)$ 到点 $\bm{r}(t+\Delta t)$ 的有向线段，因此
代表经过点 $\bm{r}(t)$ 和点 $\bm{r}(t+\Delta t)$ 的割线 $l$ 的方向向量。当 $\Delta t \to 0$ 时，割线 $l$ 的极限位置就是曲线在点 $\bm{r}(t)$ 的切线。如果 $\bm{r}'(t)\ne 0$ ，则 $\bm{r}'(t)$ 是该曲线在点 $\bm{r}(t)$ 的切线的方向向量，称为该参数曲线的切向量。
图1 曲线的切线
正则参数曲线
此时，曲线在点 $\bm{r}(t)$ 的切线是完全确定的，这样的点称为曲线的正则点．曲线在正则点的切线方程是
$$\begin{aligned} \bm{X}(u)=\bm{r}(t)+u\bm{r}'(t) \tag{6}\end{aligned}$$其中 $t$ 是固定的，$u$ 是切线上点的参数，$\bm{X}(u)$ 是从原点 $O$ 指向切线上参数为 $u$ 的点的有向线段。
这样，我们所研究的参数曲线 $\bm{r}(t)$ 要满足下面两个条件：
(1) $\bm{r}(t)$ 至少是自变量 $t$ 的三次以上连续可微的向量函数（因为曲线的几何不变量涉及 $\bm{r}(t)$ 的三次导数）。
(2) 处处是正则点，即对于任意的 $t$ 有 $\bm{r}'(t) \ne \bm{0}$ 。
这样的参数曲线称为正则参数曲线。我们还把参数增大的方向称为该参数曲线的正向，因此 $\bm{r}'(t)$ 正好指向曲线的正向。
当然，曲线的参数方程的表达式与空间 $E^3$ 中Cartesian直角坐标系的选取有关。另外，在固定的Cartesian直角坐标系下，曲线的参数方程的参数还容许做一定的变换。为了保证正则参数曲线所满足的两个条件在参数变换下保持不变，则要求参数的变换 $t=t(u)$ 满足下面两个条件：
(1) $t(u)$ 是 $u$ 的三次以上连续可微函数。 (2) $t'(u)$ 处处不为零。
称满足上面条件的参数变换为容许参数变换。
正则曲线
实际上，在参数变换 $t=t(u)$ 下，曲线的参数方程成为 $\bm{r}(t(u))$ ，为简单起见仍然把它记为 $\bm{r}(u)$ ．当 $t(u)$ 是 $u$ 的三次以上的连续可微函数时，$\bm{r}(t(u))$ 自然是 $u$ 的三次以上的连续可微函数。另外，根据求导的链式法则
$$\begin{aligned} \bm{r}'(u)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\bm{r}(t(u))=\bm{r}'(t(u))\cdot t'(u) \tag{7}\end{aligned}$$在 $\bm{r}'(t)\ne\bm{0}$ 的情况下，$\bm{r}'(u)\ne 0$ 的充分必要条件是 $t'(u)\ne 0$ 。如上的参数变换在正则参数曲线之间建立了一种等价关系，等价的正则参数曲线被看作是同一条曲线。由全体等价的正则参数曲线构成的集合称为一条正则曲线。
如果对于容许的参数变换还要求 $t'(u)>0$ ，则这种容许的参数变换保持曲线的定向不变，称这种参数变换为定向的容许参数变换。如果一条正则参数曲线只容许做保持定向的参数变换，则这样的正则参数曲线的等价类被称为是一条有向的正则曲线。
曲线的坐标参数表示
用参数方程表示曲线是从Euler开始的。曲线还能够用坐标之间的函数关系来表示，例如
$$\begin{aligned} y=y(x),\quad z=z(x) \tag{8}\end{aligned}$$不过，这只是参数方程的一种特殊情形，即可以把 $x$ 作为曲线的参数，记成
$$\begin{aligned} \bm{r}(x)=(x,y(x),z(x)) \tag{9}\end{aligned}$$如上表示的参数曲线必定是正则的，因为在此时有
$$\begin{aligned} \bm{r}'(x)=(1,y'(x),z'(x))\ne\bm{0} \tag{10}\end{aligned}$$正则参数曲线在每一点的附近都能够表示成如(9)的形式．例如，在 $\bm{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))\ne\bm{0}$ 时，不妨假定在点 $t_0$ 有 $x'(t_0)\ne 0$ ,则存在 $\varepsilon > 0$ 使得函数 $x(t)$ 在区间 $(t_0-\varepsilon, t_0+\varepsilon)$ 上有反函数（见反函数存在定理），记为 $t=t(x)$ ．于是参数方程 $\bm{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$ 经过参数变换 $t=t(x)$ 成为
$$\begin{aligned} \bm{r}(t(x))=(x,y(t(x)),z(t(x))) \tag{11}\end{aligned}$$ 这正是如(9)的表达式。
曲线还能够用坐标的隐式方程来表示。例如，一条曲线是两个联立方程
的解 $(x,y,z)$ 的集合，其中 $f(x,y,z)$ 和 $g(x,y,z)$ 是两个巳知的连续可微函数。在直观上，这两个方程分别代表两张曲面，而所考虑的曲线是这两张曲面的交线．如果这条曲线的参数方程是 $\bm{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$ ，将其代入(12)得到恒等式
$$\begin{aligned} \begin{cases} f(x(t),y(t),z(t))\equiv 0\\[5pt] g(x(t),y(t),z(t))\equiv 0 \end{cases} \tag{13}\end{aligned}$$将上面的方程对 $t$ 求导，得到
$$\begin{aligned} \begin{cases} \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\cdot x'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot y'(t)+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot z'(t)=0\\[10pt] \displaystyle\frac{\partial g}{\partial x}\cdot x'(t)+\frac{\partial g}{\partial y}\cdot y'(t)+\frac{\partial g}{\partial z}\cdot z'(t)=0 \end{cases} \tag{14}\end{aligned}$$由上式和Lagrange矢量公式，这意味着
$$\begin{aligned} &\bm{r}'(t)\times\left(\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)\times\left(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y},\frac{\partial g}{\partial z}\right)\right)\\[15pt] =&\left((x'(t),y'(t),z'(t))\cdot\left(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y},\frac{\partial g}{\partial z}\right)\right)\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)-\\[15pt] &\left((x'(t),y'(t),z'(t))\cdot\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)\right)\left(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y},\frac{\partial g}{\partial z}\right)\text{（Lagrange矢量公式）}\\[15pt] =&\left(\frac{\partial g}{\partial x}\cdot x'(t)+\frac{\partial g}{\partial y}\cdot y'(t)+\frac{\partial g}{\partial z}\cdot z'(t)\right)\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)-\\[15pt] &\left(\frac{\partial f}{\partial x}\cdot x'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot y'(t)+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot z'(t)\right)\left(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y},\frac{\partial g}{\partial z}\right)\\[15pt] =&\space \bm{0} \tag{15}\end{aligned}$$由Euclid空间与向量函数-(21)，这意味着切向量 $\bm{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))$ 平行于向量
$$\begin{aligned} \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)\times\left(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y},\frac{\partial g}{\partial z}\right) \tag{16}\end{aligned}$$上式向量不为零的条件可以等价于如下矩阵的秩为 $2$ 。
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z} \\[15pt] \displaystyle\frac{\partial g}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial g}{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial g}{\partial z} \end{pmatrix} \tag{17}\end{aligned}$$见矩阵的秩和Euclid空间与向量函数-(53)，实际上，上式矩阵存在 $2$ 阶子式不为 $0$ 条件刚好就是Euclid空间与向量函数-(53)中的向量不为 $\bm{0}$ 的条件，因此等价于其秩为 $2$ 。因此由隐函数存在定理，从(12)的方程组中可以解出其中两个坐标作为第三个坐标的函数。例如，当
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}\\[10pt] \displaystyle\frac{\partial g}{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial g}{\partial z} \end{vmatrix} \ne 0 \tag{18}\end{aligned}$$时，可以解出
$$\begin{aligned} y=y(x),\quad z=z(x) \tag{19}\end{aligned}$$使得
$$\begin{aligned} \begin{cases} f(x,y(x),z(x))\equiv 0\\[5pt] g(x,y(x),z(x))\equiv 0 \end{cases} \tag{20}\end{aligned}$$于是该曲线的参数方程是
$$\begin{aligned} \bm{r}(x)=(x,y(x),z(x)) \tag{21}\end{aligned}$$由此可见，如果 $f(x,y,z)$ 和 $g(x,y,z)$ 是连续可微函数，$p(x_0,y_0,z_0)$ 是方程组(12)的一个解，并且矩阵(17)的秩是 $2$ ，则方程组(12)在点 $p$ 的一个邻域内的解是经过点 $p$ 的一条正则曲线。
曲线的弧长
定义
设 $E^3$ 中的一条正则曲线 $C$ 的参数方程是 $\bm{r}=\bm{r}(t),\space a \le t \le b$ 。命
$$\begin{aligned} s=\int_{a}^{b}\left|\bm{r}'(t)\right|\mathrm{d}t \tag{22}\end{aligned}$$不变性
则 $s$ 是该曲线的一个不变量，即它与空间 $E^3$ 中的Cartesian直角坐标系的选取无关，也与该曲线的保持定向的容许参数变换无关。前者是因为Cartesian直角坐标变换是个等距变换（见等距变换），切向量的长度 $\left|\bm{r}'(t)\right|$ 是不变的，故 $s$ 不变。关于后者，不妨设参数变换是
$$\begin{aligned} t=t(u),\quad t'(u)>0, \quad \alpha \le u \le \beta \tag{23}\end{aligned}$$并且
$$\begin{aligned} t(\alpha)=a,\quad t(\beta)=b \tag{24}\end{aligned}$$因此
$$\begin{aligned} \left|\frac{\mathrm{d}\bm{r}(t(u))}{\mathrm{d}u}\right|=&\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x(t(u))}{\mathrm{d}u}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}y(t(u))}{\mathrm{d}u}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}z(t(u))}{\mathrm{d}u}\right)^2}\\[15pt] =&\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x(t(u))}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}y(t(u))}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}z(t(u))}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}\right)^2}\\[15pt] =&\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x(t(u))}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}y(t(u))}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}z(t(u))}{\mathrm{d}t}\right)^2}\cdot\left|\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}\right|\\[15pt] =&\left|\frac{\mathrm{d}\bm{r}(t(u))}{\mathrm{d}t}\right|\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u} \tag{25}\end{aligned}$$根据积分的变量替换公式有
$$\begin{aligned} \int_a^b\left|\frac{\mathrm{d}\bm{r}(t)}{\mathrm{d}t}\right|\mathrm{d}t=\int_a^b\left|\frac{\mathrm{d}\bm{r}(t(u))}{\mathrm{d}t}\right|\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}\mathrm{d}u=\int_a^b\left|\frac{\mathrm{d}\bm{r}(t(u))}{\mathrm{d}u}\right|\mathrm{d}u \tag{26}\end{aligned}$$所以 $s$ 与参数变换(23)是无关的。
实际上 $s$ 的几何意义就是该曲线段的长度。实际上，根据定积分的定义可得
$$\begin{aligned} s=&\int_{a}^{b}\left|\bm{r}'(t)\right|\mathrm{d}t\\[10pt] =&\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}|\bm{r}'(t_i)|\Delta t_i \tag{27}\end{aligned}$$其中 $a= t_0 < t_1 < \cdots < t_n=b $ 是区间 $[a,b]$ 的任意一个分割，$\Delta t_i = t_i - t_{i-1}$ ，$\lambda = \max\{ |\Delta t_i|; i=1,\cdots,n \}$ 。注意 $\lambda \to 0$ 时 $\Delta t_i \to 0$ 。因此由向量函数的导数定义
$$\begin{aligned} s=&\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}|\bm{r}'(t_i)|\Delta t_i\\[15pt] =&\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}\lim\limits_{\Delta t_i \to 0}\left|\frac{ \bm{r}(t_i+\Delta t_i)-\bm{r}(t_i)}{\Delta t_i}\right|\Delta t_i\\[15pt] =&\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}\left| \bm{r}(t_i+\Delta t_i)-\bm{r}(t_i)\right|\\[15pt] \tag{28}\end{aligned}$$上式的结果表达的是顶点依次为 $\bm{r}(t_0),\bm{r}(t_1),\cdots,\bm{r}(t_n)$ 的折线长度，因此 $\displaystyle\int_a^b|\bm{r}'(t)|dt$ 是将曲线不断地细分所得的折线的长度的极限，也就是该曲线的长度，称为该曲线的弧长。
图2 曲线的弧长
弧长参数
现在对于任意的 $a \le t \le b$ ，命
$$\begin{aligned} s(t)=\int_a^t|\bm{r}'(t')|\mathrm{d}t' \tag{29}\end{aligned}$$则 $s(t)$ 是曲线 $C$ 从 $a$ 到 $t$ 的弧长。
注意到
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}s(t)}{\mathrm{d}t}=|\bm{r}'(t)|>0 \tag{30}\end{aligned}$$并且
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^3s(t)}{\mathrm{d}^3t}=&\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}^2t}|\bm{r}'(t)|\\[10pt] =&\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}^2t}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2} \tag{31}\end{aligned}$$是关于 $x(t),y(t),z(t)$ 的三阶导数。而由正则参数曲线的定义可得 $x(t),y(t),z(t)$ 是三次以上的连续可微函数，因此 $s(t)$ 也是三次以上连续可微函数。故(29)可以看成一个定向的容许参数变换。换句话说，我们总是可以把正则曲线的弧长作为它的参数，这种参数称为曲线的弧长参数。弧长参数由长参数由曲线本身确定，至多差一个常数（这反映了量度曲线长度的起点不同），与表示曲线的Cartesian直角坐标系的选取无关，与曲线原来的参数的取法也无关。由(29)得到
$$\begin{aligned} \mathrm{d}s=|\bm{r}'(t)|\mathrm{d}t \tag{32}\end{aligned}$$由(25)可知对于 $t=t(u)$
$$\begin{aligned} \mathrm{d}s=|\bm{r}'(t(u))|\mathrm{d}u=|\bm{r}'(t)|\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}\mathrm{d}u=|\bm{r}'(t)|\mathrm{d}t \tag{33}\end{aligned}$$因此 $\mathrm{d}s$ 也是一个曲线不变量，称为曲线的弧长元素。
判断弧长参数
注意到积分(29)往往不能够用显式来表示，也就是说要显式地写出弧长函数的表达式往往是不可能的，因此判定已知参数 $t$ 何时是弧长参数是十分重要的。下面给出判断方法。
定理1：设 $\bm{r}=\bm{r}(t)(a \le t \le b)$ 是 $E^3$ 中的一条正则曲线，则 $t$ 是它的弧长参数的充分必要条件是 $|\bm{r}'(t)|\equiv 1$ 。
〔证明(定理1)〕因为 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=|\bm{r}'(t)|$ ，当 $t$ 是它的弧长参数 $s$ 时，$\mathrm{d}s=\mathrm{d}t$ ，所以由(32)可知 $|\bm{r}'(t)|\equiv 1$ ，反之亦然。
证毕
上述定理的几何意义是：曲线以弧长为参数的充分必要条件是它的切向量场是单位切向量场。
曲线的曲率和Frenet标架
切向量的转动
设曲线 $C$ 的方程是 $\bm{r}(s)$ ，其中 $s$ 是曲线的弧长参数。根据定理1可知 $\bm{r}'(s)$ 是曲线 $C$ 的单位切向量场。命
$$\begin{aligned} \bm{\alpha}(s)=\bm{r}'(s) \tag{34}\end{aligned}$$下面我们要研究如何刻画曲线的弯曲程度。从直观上看，$\bm{\alpha}(s)$ 是曲线 $C$ 在 $s$ 处的方向向量，因此当一点沿曲线以单位速率前进时，方向向量转动的快慢反映了曲线的弯曲程度，而方向向量 $\bm{\alpha}(s)$ 转动的快慢恰好是用 $\displaystyle\left|\frac{\mathrm{d}\bm{\alpha}}{\mathrm{d}s}\right|$ 来衡量的。
定理2：设 $\bm{\alpha}(s)$ 是曲线 $\bm{r}(s)$ 的单位切向量场，$s$ 是弧长参数，用 $\Delta\theta$ 表示切向量 $\bm{\alpha}(s+\Delta s)$ 和 $\bm{\alpha}(s)$ 之间的夹角，则
$$\begin{aligned} \lim\limits_{\Delta s \to 0}\left|\frac{\Delta\theta}{\Delta s}\right|=\left|\frac{\mathrm{d}\bm{\alpha}}{\mathrm{d}s}\right| \tag{35}\end{aligned}$$〔证明(定理2)〕
图3 曲线方向向量的转动
把曲线 $C$ 上所有的单位切向量 $\bm{\alpha}(s)$ 平行移动，使它们的起点都放在原点 $O$ 处，则这些向量的端点便描出单位球面上的一条曲线，于是由弧长公式 $L=R\theta$ ，切向量 $\bm{\alpha}(s+\Delta s)$ 和 $\bm{\alpha}(s)$ 之间的夹角 $\Delta\theta$ 是在单位球面上从 $\bm{\alpha}(s+\Delta s)$ 和 $\bm{\alpha}(s)$ 的大圆弧的弧长，而 $|\bm{\alpha}(s+\Delta s)-\bm{\alpha}(s)|$ 正好是该角所对的弦长，所以可推导出（注意由 $\bm{\alpha}(s)$ 的定义可知其模长恒为 $1$ ）
$$\begin{aligned} \left|\frac{\mathrm{d}\bm{\alpha}}{\mathrm{d}s}\right|=&\lim\limits_{\Delta s \to 0}\frac{|\bm{\alpha}(s+\Delta s)-\bm{\alpha}(s)|}{|\Delta s|}\\[15pt] =&\lim\limits_{\Delta s \to 0}\frac{2|\bm{\alpha}(s)|\left|\sin \cfrac{\Delta\theta}{2}\right|}{|\Delta s|}\\[15pt] =&\lim\limits_{\Delta s \to 0}\frac{2\left|\sin \cfrac{\Delta\theta}{2}\right|}{|\Delta s|}\\[15pt] =&\lim\limits_{\Delta s \to 0}\left|\frac{\Delta\theta}{\Delta s}\right| \tag{36}\end{aligned}$$最后一步使用了 $\sin x \backsim x$ （见等价无穷小）。
证毕
曲率
定义1：设曲线 $C$ 的方程是 $\bm{r}(s)$ ，其中 $s$ 是曲线的弧长参数。命
$$\begin{aligned} \kappa(s)=\left|\frac{\mathrm{d}\bm{\alpha}}{\mathrm{d}s}\right|=\left|\bm{r}''(s)\right| \tag{37}\end{aligned}$$称 $\kappa(s)$ 为曲线 $\bm{r}(s)$ 在 $s$ 处的曲率，并且称 $\left|\cfrac{\mathrm{d}\bm{\alpha}}{\mathrm{d}s}\right|$ 为该曲线的曲率向量。
定理3：曲线 $C$ 是一条直线当且仅当它的曲率 $\kappa(s)\equiv 0$ 。
证明（定理3）：设直线 $C$ 的参数方程是 $\bm{r}(s)=\bm{r}_0+\bm{\alpha}_0s$ ，其中 $\bm{\alpha}_0$ 是该直线的方向向量。因此，$\bm{r}'(s)=\bm{\alpha}_0,\bm{r}''(s)=\bm{0}$ ，故 $\kappa(s)=|\bm{r}''(s)|\equiv 0$ 。上述推导也可以从后往前推，因此反过来也成立。证毕。
把曲线 $C$ 的单位切向量 $\bm{\alpha}(s)$ 平行移动到原点 $O$ ，其端点所描出的曲线称为曲线 $C$ 的切线像，它的参数方程是
$$\begin{aligned} \bm{r}=\bm{\alpha}(s) \tag{38}\end{aligned}$$一般说来，$s$ 不再是曲线的切线像的弧长，而由(32)，切线像的弧长元素是
$$\begin{aligned} \mathrm{d}\tilde{s}=\left|\frac{\mathrm{d}\bm{r}}{\mathrm{d}s}\right|ds=\left|\frac{\mathrm{d}\bm{\alpha}}{\mathrm{d}s}\right|ds=\kappa(s)\mathrm{d}s \tag{39}\end{aligned}$$所以
$$\begin{aligned} \kappa(s)=\frac{\mathrm{d}\tilde{s}}{\mathrm{d}s} \tag{40}\end{aligned}$$这就是说，曲线的曲率 $\kappa(s)$ 是曲线的切线像的弧长元素与曲线的弧长元素之比。
Frenet标架
因为 $|\bm{\alpha}(s)|=1$ ，根据定理3的 (1) 有
$$\begin{aligned} \bm{\alpha}(s)\cdot\bm{\alpha}'(s)=0 \tag{41}\end{aligned}$$即 $\bm{\alpha}(s)\perp\bm{\alpha}'(s)$ ，所以 $\bm{\alpha}'(s)$ 是曲线 $C$ 的一个法向量。如果
$$\begin{aligned} \kappa(s) \ne 0 \tag{42}\end{aligned}$$则向量 $\bm{\alpha}'(s)$ 有完全确定的方向，将这个方向的单位向量记作 $\bm{\beta}(s)$ ，称为其为曲线 $C$ 的主法向量。于是由(37)，曲率向量 $\bm{\alpha}'(s)$ 可以表示为
$$\begin{aligned} \bm{\alpha}'(s)=\kappa(s)\bm{\beta}(s) \tag{43}\end{aligned}$$曲线的单位切向量 $\bm{\alpha}(s)$ 和主法向量 $\bm{\beta}(s)$ 唯一地确定了曲线的第二个法向量
$$\begin{aligned} \bm{\gamma}(s)=\bm{\alpha}(s)\times\bm{\beta}(s) \tag{44}\end{aligned}$$ 称其为曲线的次法向量。这样，在正则曲线上曲率 $\kappa(s)$ 不为零的点有一个完全确定的右手单位正交标架 $\set{\bm{r}(s);\bm{\alpha}(s),\bm{\beta}(s),\bm{\gamma}(s)}$ ，它与表示曲线的Cartesian直角坐标系的选取无关（因为 $s$ 和 $\mathrm{d}s$ 都和Cartesian直角坐标系无关），也不受曲线作保持定向的容许参数变换的影响，称为曲线在该点的Frenet标架。
如上所述，曲线在 $\kappa(s)=0$ 的点，Frenet标架是没有定义的。如果在一个区间 $(s_0-\varepsilon, s_0+\varepsilon)$ 内有 $\kappa(s)\equiv 0$ ，则该曲线段是一条直线。对于直线而言，通常取它的两个彼此正交的法向量 $\bm{\beta},\bm{\gamma}$ ，而且使 $\bm{\alpha},\bm{\beta},\bm{\gamma}$ 构成右手系，然后让它们沿直线作平行移动，这样得到的标架场 $\set{\bm{r}(s);\bm{\alpha}(s),\bm{\beta}(s),\bm{\gamma}(s)}$ 可以被看作是直线的Frenet标架场。如果 $s_0$ 是曲率 $\kappa(s)$ 的孤立零点，则情形就变得十分复杂了。在 $s_0$ 的两侧，曲线的曲率 $\kappa(s)$ 不为零，所以有确定的Frenet标架场。如果在 $s \to s_0 \pm 0$ 时它们的极限是同一个，则可以把该极限定义为Frenet标架场在 $s_0$ 处的值，这就是说Frenet标架场可以延拓到 $\kappa(s)$ 的孤立零点 $s_0$ 。如果在 $s \to s_0 \pm 0$ 时，Frenet标架场的极限不是同一个，则Frenet标架场不能够延拓到 $\kappa(s)$ 的孤立零点 $s_0$ 。
在曲率 $\kappa(s)$ 处处不为零的正则曲线上有内在地确定的Frenet标架场，这样一来，$E^3$ 中的正则曲线便成为在 $E^3$ 内由全体右手单位正交标架构成的6维空间中的一条曲线。这种看法有基本的重要性。事实上，在下一节我们会知道，在给定了描写曲线形状的全部几何不变量之后，从 $E^3$ 内由全体右手单位正交标架所构成的6维空间中来看，曲线所满足的微分方程是一个一阶常微分方程组。
在曲率 $\kappa(s)$ 不为零的点，Frenet标架 $\set{\bm{r}(s);\bm{\alpha}(s),\bm{\beta}(s),\bm{\gamma}(s)}$ 的三根轴分别称为曲线的切线，主法线和次法线；三个坐标面分别称为曲线的法平面（以 $\bm{\alpha}$ 为法向量的平面），从切平面（以 $\bm{\beta}$ 为法向量的平面）和密切平面（以 $\bm{\gamma}$ 为法向量的平面），它们的方程分别为
◦法平面： $(\bm{X}-\bm{r}(s))\cdot\bm{\alpha}(s)=0$ ◦从切平面： $(\bm{X}-\bm{r}(s))\cdot\bm{\beta}(s)=0$ ◦密切平面： $(\bm{X}-\bm{r}(s))\cdot\bm{\gamma}(s)=0$
其中 $\bm{X}$ 是相应平面上的动点的向径。
Frenet标架的计算
下面叙述曲线的曲率和Frenet标架的计算方法。如果曲线 $\bm{r}=\bm{r}(s)$ 以 $s$ 为弧长参数，则曲线的曲率和Frenet标架可以根据定义直接计算。实际上
$$\begin{aligned} \bm{\alpha}(s)=\bm{r}'(s) \tag{45}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \kappa(s)=|\bm{\alpha}'(s)|=|\bm{r}''(s)| \tag{46}\end{aligned}$$
如果 $\kappa(s)\ne 0$ ，则由(43)可得
$$\begin{aligned} \bm{\beta}(s)=\frac{\bm{r}''(s)}{|\bm{r}''(s)|} \tag{47}\end{aligned}$$因此
$$\begin{aligned} \bm{\gamma}(s)=\bm{\alpha}(s)\times\bm{\beta}(s)=\frac{\bm{r}'(s)\times\bm{r}''(s)}{|\bm{r}''(s)|} \tag{48}\end{aligned}$$如果曲线的方程是 $\bm{r}=\bm{r}(t)$ ，$t$ 不是弧长参数，则由(32)
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=|\bm{r}'(t)| \tag{49}\end{aligned}$$故
$$\begin{aligned} \bm{\alpha}(t)=\bm{\alpha}(s(t))=\frac{\mathrm{d}\bm{r}'(s(t))}{\mathrm{d}s}=\frac{\mathrm{d}\bm{r}'(s(t))}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}=\frac{\left(\cfrac{\mathrm{d}\bm{r}'(s(t))}{\mathrm{d}t}\right)}{\left(\cfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)}=\frac{\bm{r}'(t)}{|\bm{r}'(t)|} \tag{50}\end{aligned}$$即
$$\begin{aligned} \bm{r}'(t)=|\bm{r}'(t)|\cdot\bm{\alpha}(t) \tag{51}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \bm{r}''(t)=&\frac{\mathrm{d}|\bm{r}'(t)|}{\mathrm{d}t}\bm{\alpha}(t)+|\bm{r}'(t)|\cdot\frac{\mathrm{d}\bm{\alpha}(t)}{\mathrm{d}s}\cdot\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\\[10pt] =&\frac{\mathrm{d}|\bm{r}'(t)|}{\mathrm{d}t}\bm{\alpha}(t)+|\bm{r}'(t)|^2\cdot\kappa(t)\bm{\beta}(t) \tag{52}\end{aligned}$$所以由(44)
$$\begin{aligned} \bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)=&|\bm{r}'(t)|^3\cdot\kappa(t)(\bm{\alpha}(t)\times\bm{\beta}(t))\\[5pt] =&|\bm{r}'(t)|^3\cdot\kappa(t)\bm{\gamma}(t) \tag{53}\end{aligned}$$两边取模再利用 $\bm{\gamma}(t)$ 单位向量的性质可得
$$\begin{aligned} \kappa(t)=\cfrac{|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|}{|\bm{r}'(t)|^3} \tag{54}\end{aligned}$$再代入回(53)可得
$$\begin{aligned} \bm{\gamma}(t)=\frac{\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)}{|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|} \tag{55}\end{aligned}$$由正交标架的性质Euclid空间与向量函数-(24)可得
$$\begin{aligned} \bm{\beta}(t)=\bm{\gamma}(t)\times\bm{\alpha}(t) \tag{56}\end{aligned}$$代入(55)和(50)再利用Lagrange矢量公式可得
$$\begin{aligned} \bm{\beta}(t)=&\frac{(\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t))\times\bm{r}'(t)}{|\bm{r}'(t)|\cdot|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|}\\[10pt] =&\frac{|\bm{r}'(t)|}{|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|}\bm{r}''(t)-\frac{\bm{r}'(t)\cdot\bm{r}''(t)}{|\bm{r}'(t)|\cdot|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|}\bm{r}'(t) \tag{57}\end{aligned}$$由此得到曲率和Frenet标架的一般计算公式为
$$\begin{aligned} \begin{cases} \kappa(t)=\cfrac{|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|}{|\bm{r}'(t)|^3}\\[10pt] \bm{\alpha}(t)=\cfrac{\bm{r}'(t)}{|\bm{r}(t)|}\\[10pt] \bm{\beta}(t)=\cfrac{|\bm{r}'(t)|}{|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|}\bm{r}''(t)-\cfrac{\bm{r}'(t)\cdot\bm{r}''(t)}{|\bm{r}'(t)|\cdot|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|}\bm{r}'(t)\\[10pt] \bm{\gamma}(t)=\cfrac{\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)}{|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|} \end{cases} \tag{58}\end{aligned}$$曲线的挠率和Frenet公式
密切平面的转动
曲线在一点的切线和主法线所张的平面是曲线的密切平面，它的法向量是曲线的次法向量 $\bm{\gamma}$ 。如果曲线本身落在一个平面内，则该平面就是曲线的密切平面，于是它的法向量 $\bm{\gamma}$ 是常向量。如果曲线不是平面曲线，则 $\bm{\gamma}$ 必定不是常向量（证明见定理4）。根据定理2，单位切向量 $\bm{\alpha}$ 关于弧长参数 $s$ 的导数的长度 $|\bm{\alpha}'(s)|$ 反映了曲线的切线方向转动的快慢；同理次法向量 $\bm{\gamma}$ 关于弧长参数 $s$ 的导数的长度 $|\bm{\gamma}'(s)|$ 反映了曲线的密切平面方向转动的快慢，因而它刻画了曲线偏离平面曲线的程度，反映了曲线扭曲的程度，即曲线的“挠率”。
由 $\bm{\gamma}$ 的定义(44)
$$\begin{aligned} \bm{\gamma}=\bm{\alpha}\times\bm{\beta} \tag{59}\end{aligned}$$并且由(43)
$$\begin{aligned} \bm{\alpha}'(s)\parallel\bm{\beta}(s) \tag{60}\end{aligned}$$可得
$$\begin{aligned} \bm{\gamma}'(s)=\bm{\alpha}'(s)\times\bm{\beta}(s)+\bm{\alpha}(s)\times\bm{\beta}'(s)=\bm{\alpha}(s)\times\bm{\beta}'(s) \tag{61}\end{aligned}$$这说明 $\bm{\gamma}'(s)\perp\bm{\alpha}(s)$ 。同时，因为 $\bm{\gamma}(s)$ 是单位向量场，由定理3的 (1) 可知 $\bm{\gamma}'(s)\perp\bm{\gamma}(s)$ 。因此 $\bm{\gamma}'(s)$ 与 $\bm{\beta}(s)$ 必共线，不妨设
$$\begin{aligned} \bm{\gamma}'(s)=-\tau\bm{\beta}(s) \tag{62}\end{aligned}$$两边点乘 $\bm{\beta}(s)$ 并利用 $\bm{\beta}(s)$ 的单位向量性质
$$\begin{aligned} \tau(s)=-\bm{\gamma}'(s)\cdot\bm{\beta}(s) \tag{63}\end{aligned}$$对(62)两端取模可得
$$\begin{aligned} |\tau(s)|=|\bm{\gamma}'(s)| \tag{64}\end{aligned}$$挠率
定义2（挠率）：设 $\bm{\beta}(s)$ 和 $\bm{\gamma}(s)$ 分别是曲线 $C$ 的主法向量和次法向量，其中 $s$ 是曲线的弧长参数，则 $\tau(s)=\bm{\gamma}'(s)\cdot\bm{\beta}(s)$ 称为曲线 $C$ 的挠率。
定理4：设曲线 $C$ 不是直线，则它是平面曲线当且仅当它的挠率为零。
〔证明(定理4)〕先讨论必要性。如果曲线 $C$ 是平面曲线，则其切向量 $\bm{\alpha}(s)$ 必在该平面内，由图3可看出 $\bm{\alpha}'(s)$ 也在该平面内，故由 $\bm{\beta}$ 的定义(43)可知 $\bm{\beta}$ 也在该平面内，那么由 $\bm{\gamma}$ 的定义(44)可知 $\bm{\gamma}$ 垂直于该平面且为单位向量，故 $\bm{\gamma}$ 不变，$\bm{\gamma}'(s)=0$ ，故曲线挠率为 $0$ 。
再讨论充分性。设曲线 $C$ 的参数方程式 $\bm{r}=\bm{r}(s)$ ，$s$ 是弧长参数，并且 $\kappa(s)\ne 0,\tau(s)\equiv 0$ 。此时曲线有确定的Frenet标架 $\set{\bm{r}(s); \bm{\alpha(s)}, \bm{\beta}(s), \bm{\gamma}(s)}$ ，并且
因此 $\bm{\gamma}(s)=\bm{\gamma}_0=\text{常向量}$ 。又由(48)得
$$\begin{aligned} 0=\bm{r}'(s)\cdot\bm{\gamma}(s)=\bm{r}'(s)\cdot\bm{\gamma}_0=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(\bm{r}(s)\cdot\bm{\gamma}_0) \tag{66}\end{aligned}$$所以
$$\begin{aligned} \bm{r}(s)\cdot\bm{\gamma}_0=常数=\bm{r}(s_0)\cdot\bm{\gamma}_0 \tag{67}\end{aligned}$$也就是
$$\begin{aligned} (\bm{r}(s)-\bm{r}(s_0))\cdot\bm{\gamma}_0=0 \tag{68}\end{aligned}$$这说明曲线 $\bm{r}=\bm{r}(s)$ 落在经过点 $\bm{r}(s_0)$ 、以常向量 $\bm{\gamma}_0$ 为法向量的平面内。
证毕
Frenet公式
根据曲率、挠率和Frenet标架的定义，我们已经有下面的公式（见(34)、(43)、(62)）
$$\begin{aligned} \bm{r}'(s)=\bm{\alpha}(s),\quad \bm{\alpha}'(s)=\kappa(s)\bm{\beta}(s),\quad \bm{\gamma}'(s)=-\tau(s)\bm{\beta}(s) \tag{69}\end{aligned}$$Frenet标架 $\set{\bm{r}(s); \bm{\alpha(s)}, \bm{\beta}(s), \bm{\gamma}(s)}$ 是随着点在曲线 $\bm{r}(s)$ 上的运动而运动的，而 $\bm{r}'(s),\bm{\alpha}'(s),\bm{\gamma}'(s)$ 分别给出Frenet标架的原点 $\bm{r}(s)$ 和标架向量 $\bm{\alpha}(s),\bm{\gamma}(s)$ 的运动公式，要获得整个Frenet标架的运动公式，只要求出 $\bm{\beta}'(s)$ 就行了。由于 $\set{\bm{r}(s); \bm{\alpha(s)}, \bm{\beta}(s), \bm{\gamma}(s)}$ 是空间 $E^3$ 的一个标架，所以 $\bm{\beta}'(s)$ 总是可以表示成 $ \bm{\alpha(s)}, \bm{\beta}(s), \bm{\gamma}(s)$ 的线性组合，不妨设
$$\begin{aligned} \bm{\beta}'(s)=a(s)\bm{\alpha}(s)+b(s)\bm{\beta}(s)+c(s)\bm{\gamma}(s) \tag{70}\end{aligned}$$将上式分别于 $ \bm{\alpha}(s), \bm{\beta}(s), \bm{\gamma}(s)$ 作点乘，并且利用 $ \bm{\alpha}(s), \bm{\beta}(s), \bm{\gamma}(s)$ 的单位正交性，我们有
$$\begin{aligned} \begin{cases} a(s)=\bm{\beta}'(s)\cdot\bm{\alpha}(s)=-\bm{\beta}(s)\cdot\bm{\alpha}'(s)=-\kappa(s)\\[5pt] b(s)=\bm{\beta}'(s)\cdot\bm{\beta}(s)=0\\[5pt] c(s)=\bm{\beta}(s)\cdot\bm{\gamma}(s)=-\bm{\beta}(s)\cdot\bm{\gamma}'(s)=\tau(s) \end{cases} \tag{71}\end{aligned}$$上式利用了 $\bm{\alpha}(s)\cdot\bm{\beta}(s)=0$ 两端求导得到的 $\bm{\alpha}'(s)\cdot\bm{\beta}(s)+\bm{\alpha}(s)\cdot\bm{\beta}'(s)=0$ ，$\bm{\beta}(s)\cdot\bm{\gamma}(s)=0$ 两端求导得到的 $\bm{\beta}'(s)\cdot\bm{\gamma}(s)+\bm{\beta}(s)\cdot\bm{\gamma}'(s)=0$ ，以及由定理3的 (1) 得到的结论 $\bm{\beta}'(s)\cdot\bm{\beta}(s)=0$ 。代入(70)可得
$$\begin{aligned} \bm{\beta}'(s)=-\kappa(s)\bm{\alpha}(s)+\tau(s)\bm{\gamma}(s) \tag{72}\end{aligned}$$把(69)和(72)合并起来可得到Frenet标架 $\set{\bm{r}(s); \bm{\alpha(s)}, \bm{\beta}(s), \bm{\gamma}(s)}$ 沿曲线 $C$ 运动的公式
公式1（Frenet公式）： $$\begin{aligned} \begin{cases} \bm{r}'(s)=\bm{\alpha}(s)\\[5pt] \bm{\alpha}'(s)=\kappa(s)\bm{\beta}(s)\\[5pt] \bm{\beta}'(s)=-\kappa(s)\bm{\alpha}(s)+\tau(s)\bm{\gamma}(s)\\[5pt] \bm{\gamma}'(s)=-\tau(s)\bm{\beta}(s) \end{cases} \tag{73}\end{aligned}$$上述公式称为Frenet公式，是曲线论中最重要、最基本的公式，由法国数学家Serret和Frenet分别在1851和1852年发表（他们给出的是切线、主法线、次法线的方向余弦的导数公式）。Frenet公式中后三个方程可以写成矩阵的形式
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} \bm{\alpha}'(s)\\[5pt] \bm{\beta}'(s)\\[5pt] \bm{\gamma}'(s) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa(s) & 0 \\[5pt] -\kappa(s) & 0 & \tau(s)\\[5pt] 0 & -\tau(s) & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \bm{\alpha}(s)\\[5pt] \bm{\beta}(s)\\[5pt] \bm{\gamma}(s) \end{pmatrix} \tag{74}\end{aligned}$$在上面的公式中系数矩阵是反对称矩阵，这不是Frenet标架的导数所特有的。一般地，沿曲线定义的任意一个单位正交标架场的导数公式的系数矩阵都是反对称的。
球面曲线
熟练地运用Frenet公式对于研究曲线的性质是十分要紧的。下面以球面上曲线的特征性质为例来说明这一点。
定理5：设曲线 $\bm{r}=\bm{r}(s)$ 的曲率 $\kappa(s)$ 和挠率 $\tau(s)$ 都不为零，$s$ 是弧长参数。如果该曲线落在一个球面上，则它的曲率和挠率必满足关系式
$$\begin{aligned} \left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)^2+\left(\frac{1}{\tau(s)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)\right)^2=常数 \tag{75}\end{aligned}$$〔证明(定理5)〕假定曲线 $\bm{r}=\bm{r}(s)$ 落在一个球面上，该球面的球心是 $\bm{r}_0$ ，半径是 $a$ ，则有关系式
$$\begin{aligned} (\bm{r}(s)-\bm{r}_0)^2=a^2 \tag{76}\end{aligned}$$将上式两边对 $s$ 求导并利用(34)
$$\begin{aligned} \bm{\alpha}(s)\cdot(\bm{r}(s)-\bm{r}_0)=0 \tag{77}\end{aligned}$$故 $(\bm{r}(s)-\bm{r}_0)$ 垂直于切线，因此是曲线的法向量。不妨设
$$\begin{aligned} \bm{r}(s)-\bm{r}_0=\lambda(s)\bm{\beta}(s)+\mu(s)\bm{\gamma}(s) \tag{78}\end{aligned}$$将上式对于 $s$ 求导并且利用Frenet公式得到
$$\begin{aligned} \bm{\alpha}(s)=-\lambda(s)\kappa(s)\bm{\alpha}(s)+(\lambda'(s)-\mu(s)\tau(s))\bm{\beta}(s)+(\lambda(s)\tau(s)+\mu'(s))\bm{\gamma}(s) \tag{79}\end{aligned}$$比较等式两边的系数得到
$$\begin{aligned} \lambda(s)\kappa(s)=-1,\quad \lambda'(s)=\mu(s)\tau(s),\quad \mu'(s)=\lambda(s)\tau(s) \tag{80}\end{aligned}$$于是
$$\begin{aligned} \lambda=-\frac{1}{\kappa(s)},\quad \mu(s)=\frac{\lambda'(s)}{\tau(s)}=-\frac{1}{\tau(s)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right) \tag{81}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \bm{r}(s)-\bm{r}_0=-\frac{1}{\kappa(s)}\bm{\beta}(s)-\frac{1}{\tau(s)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)\bm{\gamma}(s) \tag{82}\end{aligned}$$因此根据(76)和 $\bm{\beta}(s)$ 和 $\bm{\gamma}(s)$ 的正交性得到
$$\begin{aligned} \left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)^2+\left(\frac{1}{\tau(s)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)\right)^2=常数 \tag{83}\end{aligned}$$证毕
挠率的计算
设曲线的参数方程是 $\bm{r}=\bm{r}(t)$ ，将(55)两边对 $t$ 求导并利用Frenet公式得到
$$\begin{aligned} -\tau(t)\bm{\beta}(t)\cdot\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\bm{r}'(t)\times\bm{r}'''(t)}{|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|}\right)\cdot\left(\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)\right) \tag{84}\end{aligned}$$将上式两边用(57)作点乘并利用叉乘的性质 $\bm{a}\cdot(\bm{a}\times\bm{b})=0$ 和混合积恒等式可得
$$\begin{aligned} -\tau(t)|\bm{\beta}(t)|^2\cdot\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} =&\left(\frac{|\bm{r}'(t)|}{|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|}\bm{r}''(t)-\frac{\bm{r}'(t)\cdot\bm{r}''(t)}{|\bm{r}'(t)|\cdot|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|}\bm{r}'(t)\right)\cdot\\[15pt] &\left(\frac{\bm{r}'(t)\times\bm{r}'''(t)}{|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|}\right)\cdot\left(\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)\right)\right)\\[15pt] =&\frac{|\bm{r}'(t)|\cdot(\bm{r}''(t)\cdot(\bm{r}'(t)\times\bm{r}'''(t)))}{|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|^2}-\frac{(\bm{r}'(t)\cdot\bm{r}''(t))(\bm{r}'(t)\cdot(\bm{r}'(t)\times\bm{r}'''(t)))}{|\bm{r}'(t)|\cdot|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|^2}+\\[15pt] &+\frac{|\bm{r}'(t)|}{|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|}\right)(\bm{r}''(t)\cdot(\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t))\\[15pt] &-\frac{\bm{r}'(t)\cdot\bm{r}''(t)}{|\bm{r}'(t)|\cdot|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|}\right)(\bm{r}'(t)\cdot(\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)))\\[15pt] =&|\bm{r}'(t)|\frac{(\bm{r}''(t)\cdot(\bm{r}'(t)\times\bm{r}'''(t)))}{|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|^2}=-|\bm{r}'(t)|\frac{(\bm{r}'(t),\bm{r}''(t),\bm{r}'''(t))}{|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|^2} \tag{85}\end{aligned}$$代入(32)并由 $\bm{\beta}(t)$ 的单位向量性质得
$$\begin{aligned} \tau(t)=\frac{(\bm{r}'(t),\bm{r}''(t),\bm{r}'''(t))}{|\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)|^2} \tag{86}\end{aligned}$$如果 $t$ 是弧长参数 $s$ ，则由定理1和Lagrange恒等式，上式成为
$$\begin{aligned} \tau(s)=\frac{(\bm{r}'(s),\bm{s}''(s),\bm{s}'''(s))}{|\bm{r}''(s)|^2} \tag{87}\end{aligned}$$定理6：曲线 $\bm{r}=\bm{r}(t)$ 是一条平面曲线的充分必要条件是
$$\begin{aligned} (\bm{r}'(t),\bm{r}''(t),\bm{r}'''(t)) \equiv 0 \tag{88}\end{aligned}$$〔证明(定理6)〕先证必要性。如果 $\bm{r}=\bm{r}(t)$ 是一条直线，由定理3可得 $\kappa(s)\equiv 0$ ，再由(54)可得 $\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t)=\bm{0}$ ，因此由混合积恒等式得
$$\begin{aligned} (\bm{r}'(t),\bm{r}''(t),\bm{r}'''(t))=(\bm{r}'(t)\times\bm{r}''(t))\cdot\bm{r}'''(t) \equiv 0 \tag{89}\end{aligned}$$ 如果不是一条直线，则由定理4可知 $\tau(t)\equiv 0$ ，再由(86)可得 $(\bm{r}'(t),\bm{r}''(t),\bm{r}'''(t)) \equiv 0$ 。
再证充分性。如果 $(\bm{r}'(t),\bm{r}''(t),\bm{r}'''(t)) \equiv 0$ ，代入(86)可得 $\tau(t)\equiv 0$ ，故由定理4可得该直线是平面曲线。
证毕
曲线论基本定理
曲率和挠率不为零且处处相等的两条曲线必有刚体运动使其相互变换
根据前面各节的讨论，我们已经知道正则参数曲线的弧长参数、曲率和挠率都是与曲线的保持定向的容许参数变换无关的。实际上，弧长参数的不变性在弧长参数中已经作过讨论，而曲率和挠率是通过曲线的参数方程关于弧长参数的各阶导数作适当的代数运算（点乘和叉乘等）得到的，它们同样不依赖曲线上参数的选择。很明显，这三个量与欧氏空间 $E^3$ 中的Cartesian直角坐标系的选取也是无关的。实际上，这三个量的计算公式是用曲线的向量形式的参数方程给出的，该事实本身就蕴涵着它们不依赖空间的Cartesian直角坐标系的选取。此外，在定理1处已经解释过，欧氏空间 $E^3$ 上的刚体运动在某种意义上相当于空间的Cartesian直角坐标系的变换，因此当曲线在空间中经受一个刚体运动时，曲线的弧长、曲率和挠率是不变的。反过来说如果在空间 $E^3$ 中有两条曲线，它们的曲率和挠率表示成弧长参数的函数分别是相同的，则这两条曲线的形状是相同的。这个论断可以叙述成下面的基本定理。
定理7：设 $\bm{r}=\bm{r}_1(s)$ 和 $\bm{r}=\bm{r}_2(s)$ 是 $E^3$ 中两条以弧长 $s$ 为参数的正则参数曲线，如果它们的曲率处处不为零，并且它们的曲率和挠率分别相等，即 $\kappa_1(s)=\kappa_2(s),\tau_1(s)=\tau_2(s)$ ，则有 $E^3$ 中的一个刚体运动 $\sigma$ ，它把曲线 $\bm{r}=\bm{r}_1(s)$ 变为曲线 $\bm{r}=\bm{r}_2(s)$ 。
〔证明(定理7)〕由于这两条曲线的曲率处处不为零，因此沿着这两条曲线有完全确定的Frenet标架。假定它们在 $s=0$ 处的Frenet标架分别是 $\set{\bm{r}_1(0);\bm{\alpha}_1(0),\bm{\beta}_1(0),\bm{\gamma}_1(0)}$ 和 $\set{\bm{r}_2(0);\bm{\alpha}_2(0),\bm{\beta}_2(0),\bm{\gamma}_2(0)}$ 。因为它们都是右手单位正交标架，由定理1，在 $E^3$ 中有一个刚体运动 $\sigma$ 把后一个标架变成前一个标架。不妨把第二条曲线经过刚体运动 $\sigma$ 得到的像仍然记为 $\bm{r}=\bm{r}_2(s)$ ，那么曲线 $\bm{r}=\bm{r}_1(s)$ 和 $\bm{r}=\bm{r}_2(s)$ 在对应点仍旧有相同的曲率和挠率（曲率和挠率是曲线的内禀属性，和Cartesian坐标系无关），并且在 $s=0$ 处有相同的Frenet标架。我们要证明
$$\begin{aligned} \bm{r}_1(s)=\bm{r}_2(s),\quad \forall s \tag{90}\end{aligned}$$为此，首先定义函数
$$\begin{aligned} f(s)=(\bm{\alpha}_1(s)-\bm{\alpha}_2(s))^2+(\bm{\beta}_1(s)-\bm{\beta}_2(s))^2+(\bm{\gamma}_1(s)-\bm{\gamma}_2(s))^2 \tag{91}\end{aligned}$$根据假设得知 $f(0)=0$ 。对 $f(s)$ 直接求导，利用Frenet公式并且注意到 $\kappa_1(s)=\kappa_2(s),\tau_1(s)=\tau_2(s)$ ，则得
$$\begin{aligned} \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}f(s)}{\mathrm{d}s}=&(\bm{\alpha}_1(s)-\bm{\alpha}_2(s))\cdot(\kappa_1(s)\bm{\beta}_1(s)-\kappa_2(s)\bm{\beta}_2(s))\\[5pt] &+(\bm{\beta}_1(s)-\bm{\beta}_2(s))\cdot(-\kappa_1(s)\bm{\alpha}_1(s)+\kappa_2(s)\bm{\alpha}_2(s))\\[5pt] &+(\bm{\beta}_1(s)-\bm{\beta}_2(s))\cdot(-\tau_1(s)\bm{\gamma}_1(s)+\tau_2(s)\bm{\gamma}_2(s))\\[5pt] &+(\bm{\gamma}_1(s)-\bm{\gamma}_2(s))\cdot(-\tau_1(s)\bm{\beta}_1(s)+\tau_2(s)\bm{\beta}_2(s))\\[5pt] =&\kappa_1(s)(\bm{\alpha}_1(s)-\bm{\alpha}_2(s))\cdot(\bm{\beta}_1(s)-\bm{\beta}_2(s))\\[5pt] &-\kappa_1(s)(\bm{\beta}_1(s)-\bm{\beta}_2(s))\cdot(\bm{\alpha}_1(s)-\bm{\alpha}_2(s))\\[5pt] &+\tau_1(s)(\bm{\beta}_1(s)-\bm{\beta}_2(s))\cdot(\bm{\gamma}_1(s)-\bm{\gamma}_2(s))\\[5pt] &-\tau_1(s)(\bm{\gamma}_1(s)-\bm{\gamma}_2(s))\cdot(\bm{\beta}_1(s)-\bm{\beta}_2(s))\\[5pt] \equiv & \space 0 \tag{92}\end{aligned}$$故 $f(s)=f(0)=0$ ，即
$$\begin{aligned} \bm{\alpha}_1(s)=\bm{\alpha}_2(s),\quad \bm{\beta}_1(s)=\bm{\beta}_2(s),\quad \bm{\gamma}_1(s)=\bm{\gamma}_2(s) \tag{93}\end{aligned}$$再定义函数
$$\begin{aligned} g(s)=(\bm{r}_1(s)-\bm{r}_2(s))^2,\quad g(0)=0 \tag{94}\end{aligned}$$则
$$\begin{aligned} \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}g(s)}{\mathrm{d}s}=(\bm{r}_1(s)-\bm{r}_2(s))\cdot(\bm{\alpha}_1(s)-\bm{\alpha}_2(s))\equiv 0 \tag{95}\end{aligned}$$所以 $g(s)=g(0)=0$ ，即 $\bm{r}_1(s)=\bm{r}_2(s),\forall s$ 。证毕。
定理8：设 $\bm{r}=\bm{r}_1(t)$ 和 $\bm{r}=\bm{r}_2(u)$ 是 $E^3$ 中两条正则参数曲线，它们的曲率处处不为零。如果存在三次以上的连续可微函数 $u=\lambda(t),\lambda'(t)\ne0$ ，使得这两条曲线的弧长参数、曲率函数和挠率函数之间有关系式
$$\begin{aligned} s_1(t)=s_2(\lambda(t)),\quad \kappa_1(t)=\kappa_2(\lambda(t)),\quad \tau_1(t)=\tau_2(\lambda(t)) \tag{96}\end{aligned}$$则有 $E^3$ 中的一个刚体运动 $\sigma$ ，它把曲线 $\bm{r}=\bm{r}_1(t)$ 变为曲线 $\bm{r}=\bm{r}_2(u)$ ，即曲线 $\bm{r}=\bm{r}_2(\lambda(t))$ 是曲线 $\bm{r}=\bm{r}_1(t)$ 在刚体运动 $\sigma$ 下的像。
〔证明(定理8)〕由(96)可得 $\bm{r}=\bm{r}_1(t)$ 和 $\bm{r}=\bm{r}_2(\lambda(t))$ 拥有相同的弧长参数，假设
$$\begin{aligned} s(t)=s_1(t)=s_2(\lambda(t)) \tag{97}\end{aligned}$$则
$$\begin{aligned} \kappa_1(s)=\kappa_1(s(t))=\kappa_1(s_1(t))=\kappa_1(t),\\[5pt] \kappa_2(s)=\kappa_2(s(t))=\kappa_1(s_2(\lambda(t)))=\kappa_2(\lambda(t)) \tag{98}\end{aligned}$$故由(96)可得 $\kappa_1(s)=\kappa_2(s)$ 。同理可得 $\tau_1(s)=\tau_2(s)$ 。此时由定理7可以直接得到定理8的结论。
证毕
证毕
给定连续可微的曲率和挠率（曲率大于零）则必有曲线对应
在曲线的曲率和Frenet标架中已经知道，在曲率 $\kappa(s)$ 处处不为零的正则曲线上有内在的、确定的Frenet标架场，所以 $E^3$ 中的曲线便变成在 $E^3$ 的正交标架空间中的一条曲线．而Frenet公式正好是这个标架场的运动方程其系数恰好是曲线的曲率和挠率，它们完全确定了曲线在空间中的形状。我们的问题是：给定了曲率和挠率作为弧长参数 $s$ 的函数 $\kappa(s),\tau(s)$ 之后，在空间 $E^3$ 中是否存在正则参数曲线以给定的函数 $\kappa(s),\tau(s)$ 为它的曲率和挠率？根据上面的分析，我们在 $E^3$ 上由全体正交标架构成的6维空间中考虑，千是Frenet公式成为现成的已知常微分方程组，它的解是依赖参数 $s$ 的一族正交标架，其标架原点在 $E^3$ 中描出的轨迹应该是我们所要的曲线，而这族正交标架本身应该是曲线的Frenet标架场。
定理9：设 $\kappa(s),\tau(s)$ 是在区间 $[a,b]$ 上两个任意给定的连续可微函数，并且 $\kappa(s)>0$ ，则在空间 $E^3$ 中存在正则参数曲线 $\bm{r}=\bm{r}(s),a\le s \le b$ ，以 $s$ 为弧长参数，以给定的函数 $\kappa(s),\tau(s)$ 为它的曲率和挠率，且这样的曲线在空间 $E^3$ 中是完全确定的，其差异至多为曲线在空间中的位置不同。
〔证明(定理9)〕定理7已经证明这样的曲线在空间 $E^3$ 中确定到至多差一个位置的不同，因此我们只要证明这样的曲线的存在性。
为了能够用和式表示方程组，引进新的函数记号
并且用 $\bm{r},\bm{e}_1,\bm{e}_2,\bm{e}_3$ 记成向量形式的未知函数，每一个向量函数代表 $3$ 个未知函数，共 $12$ 个未知函数。考虑一阶常微分方程组
$$\begin{aligned} \begin{cases} \cfrac{\mathrm{d}\bm{r}}{\mathrm{d}s}=\bm{e}_1\\[10pt] \cfrac{\mathrm{d}\bm{e}_i}{\mathrm{d}s}=\displaystyle\sum_{j=1}^{3}a_{ij}(s)\bm{e}_j,\quad 1 \le i \le 3 \end{cases} \tag{100}\end{aligned}$$这是由 $4$ 个向量形式的线性齐次微分方程组组成的方程组（实际上有十二个方程）。由于方程组的系数是连续可微函数，根据解的存在和唯一性-Picard定理，对于任意给定的一组初值 $\bm{r}^{(0)},\bm{e}_1^{(0)},\bm{e}_2^{(0)},\bm{e}_3^{(0)}$ ，方程组有唯一的一组解 $\bm{r}, \bm{e}_1(s),\bm{e}_2(s),\bm{e}_3(s),a\le s \le b$ ，满足初始条件
$$\begin{aligned} \bm{r}(s_0)=\bm{r}^{(0)},\quad \bm{e}_i(s_0)=\bm{e}_i^{(0)},\quad 1 \le i \le 3 \tag{101}\end{aligned}$$其中 $s_0$ 是区间 $[a,b]$ 中任意固定的一点。一般来说，这样的解并不会满足我们的要求。如果 $\bm{r}=\bm{r}(s)$ 是我们想要的曲线，而 $\set{\bm{r}(s);\bm{e}_1(s),\bm{e}_2(s),\bm{e}_3(s)}$ 是曲线的Frenet标架，则我们必须要求初始值 $\set{\bm{r}^{(0)};\bm{e}_1^{(0)},\bm{e}_2^{(0)},\bm{e}_3^{(0)}}$ 是右手单位正交标架，即它们要满足条件
$$\begin{aligned} \begin{cases} \bm{e}_i^{(0)}\cdot\bm{e}_j^{(0)}=\delta_{ij},\quad 1\le i,j \le 3\\[10pt] (\bm{e}_1^{(0)},\bm{e}_2^{(0)},\bm{e}_3^{(0)})=1 \end{cases} \tag{102}\end{aligned}$$我们要证明，当初值满足条件(102)，方程组(100)满足初始条件(101)给出的 $\bm{r}=\bm{r}(s)$ 是一条正则曲线，以 $s$ 为弧长参数，并以给定的函数 $\kappa(s),\tau(s)$ 为它的曲率和挠率。为此，首先证明这组解 $\set{\bm{r}(s);\bm{e}_1(s),\bm{e}_2(s),\bm{e}_3(s)}$ 是右手单位正交标架族。命
$$\begin{aligned} \bm{g}_{ij}(s)=\bm{e}_i(s)\cdot\bm{e}_j(s),\quad 1\le i,j \le 3 \tag{103}\end{aligned}$$初值所满足的条件(102)说明
$$\begin{aligned} g_{ij}(s_0)=0,\quad 1 \le i,j \le 3 \tag{104}\end{aligned}$$将(103)求导，并且利用 $\bm{e}_i(s)$ 满足方程组(100)得到
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}g_{ij}(s)}{\mathrm{d}s}=&\frac{\mathrm{d}\bm{e}_i(s)}{\mathrm{d}s}\cdot\bm{e}_j+\bm{e}_i\cdot\frac{\mathrm{d}\bm{e}_j(s)}{\mathrm{d}s}\\[15pt] =&\sum_{k=1}^{3}(a_{ik}\bm{e}_k(s)\cdot\bm{e}_j(s)+a_{jk}\bm{e}_i(s)\cdot\bm{e}_k(s))\\[15pt] =&\sum_{k=1}^{3}(a_{ik}g_{kj}(s)+a_{jk}g_{ik}(s)) \tag{105}\end{aligned}$$这是线性齐次常微分方程组且系数连续可微，所以再次由解的存在和唯一性-Picard定理可得它在初值条件(104)下的解是唯一的，又注意
$$\begin{aligned} g_{ij}(s)\equiv 0,\quad 1 \le i,j \le 3 \tag{106}\end{aligned}$$是方程满足初值条件的一个平凡解。由解的唯一性，方程的唯一解只能是这个平凡解。也就是满足
$$\begin{aligned} \bm{e}_i(s)\cdot\bm{e}_j(s)=\delta_{ij},\quad 1 \le i,j \le 3 \tag{107}\end{aligned}$$故 $\set{\bm{r}(s);\bm{e}_1(s),\bm{e}_2(s),\bm{e}_3(s)}$ 是单位正交标架。这样，向量 $\bm{e}_1(s),\bm{e}_2(s),\bm{e}_3(s)$ 的混合积 $(\bm{e}_1(s),\bm{e}_2(s),\bm{e}_3(s))$ 的值是 $1$ 或 $-1$ 。注意向量 $\bm{e}_1(s),\bm{e}_2(s),\bm{e}_3(s)$ 是连续的，因此 $(\bm{e}_1(s),\bm{e}_2(s),\bm{e}_3(s))$ 也是连续的，因此
$$\begin{aligned} (\bm{e}_1(s),\bm{e}_2(s),\bm{e}_3(s))=1 \tag{108}\end{aligned}$$ 所以 $\set{\bm{r}(s);\bm{e}_1(s),\bm{e}_2(s),\bm{e}_3(s)}$ 是右手单位正交标架族。
由方程(100)的第一式可知
故由定理1知 $\bm{r}(s)$ 是正则参数曲线，$s$ 是弧长参数，$\bm{\alpha}(s)\bm{e}_1(s)$ 。再由方程(100)的第二式得知
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\bm{\alpha}(s)}{\mathrm{d}s}=\frac{\mathrm{d}\bm{e}_1(s)}{\mathrm{d}s}=\kappa(s)\bm{e}_2(s) \tag{110}\end{aligned}$$对比(43)可知 $\kappa(s)$ 就是曲线 $\bm{r}=\bm{r}(s)$ 的曲率，$\bm{e}_2(s)$ 是它的主法向量，于是
$$\begin{aligned} \bm{\gamma}(s)=\bm{\alpha}(s)\times\bm{\beta}(s)=\bm{e}_1(s)\times\bm{e}_2(s)=\bm{e}_3(s) \tag{111}\end{aligned}$$由(100)的最后一式得到
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\bm{e}_3(s)}{\mathrm{d}s}=-\tau(s)\bm{e}_2(s) \tag{112}\end{aligned}$$两边点乘 $\bm{e}_2(s)$ 并利用 $|\bm{e}_2(s)|^2=1$ 可得
$$\begin{aligned} \tau(s)=-\frac{\mathrm{d}\bm{e}_3(s)}{\mathrm{d}s}\cdot\bm{e}_2(s)=-\frac{\mathrm{d}\bm{\gamma}(s)}{\mathrm{d}s}\cdot\bm{\beta}(s) \tag{113}\end{aligned}$$故 $\tau(s)$ 是曲线 $\bm{r}=\bm{r}(s)$ 的挠率。证毕。
上面的定理说明，函数 $\kappa(s)>0$ 于 $\tau(s)$ 在空间 $E^3$ 中不计位置差异唯一地确定了一条曲线，因此它们可以看作是该曲线的方程，成为曲线的内在方程，或自然方程。从曲线的自然方程得到参数方程的过程就是求解方程组(100)的过程。一般说来，该过程是比较难的。如果知道方程组(100)的一个特解，则定理7告诉我们，其余的解都是上述特解在 $E^3$ 的刚体运动下的像。
证毕
曲线参数方程在一点的标准展开
我们知道，解析函数 $y=f(x)$ 在任意一点 $x_0$ 的邻域内可以展开成收敛成幂级数。如果函数 $y=f(x)$ 是光滑的，即它有任意阶的导数，则函数 $f(x)$ 可以表示成任意 $n$ 次的一个多项式与一个余项之和，该多项式的系数由 $f(x)$ 的直到 $n$ 阶的各阶导数在 $x_0$ 处的值决定，并且余项在 $x \to x_0$ 时是比 $(x-x_0)^n$ 更高阶的无穷小量．这样的展开式称为函数 $y=f(x)$ 的Taylor展开式，它是原来函数的近似。当然，多项式函数比原来的函数简单，它的性状更容易了解和描写。正则曲线的参数方程是由三个可微函数组成的，将Taylor展开式用到这三个函数上，便能够得到一条多项式曲线来近似原来的曲线。特别是，在曲线的曲率和挠率都不为零的时候，在一点的附近可以求得一条三次曲线，它与原来的曲线在该点有相同的曲率、挠率和Frenet标架，于是原曲线在该点附近的性状可以用这条近似曲线来模拟。
曲线的Taylor展开
设 $\bm{r}=\bm{r}(s)$ 是一条以弧长 $s$ 为参数的正则曲线，它在 $s=0$ 处的Taylor展开式为（见Taylor展开）
$$\begin{aligned} \bm{r}(s)=\bm{r}(0)+\frac{s}{1!}\bm{r}'(0)+\frac{s^2}{2!}\bm{r}''(0)+\frac{s^3}{3!}\bm{r}'''(0)+\bm{\omicron}(s^3) \tag{114}\end{aligned}$$其中 $\bm{\omicron}(s^3)$ 是余项，满足条件
$$\begin{aligned} \lim\limits_{s \to 0}\frac{|\bm{\omicron}(s^3)|}{s^3}=0 \tag{115}\end{aligned}$$由Frenet公式第一式取 $s=0$ 可得
$$\begin{aligned} \bm{r}'(0)=\bm{\alpha}(0) \tag{116}\end{aligned}$$将上式代入Frenet公式第二式并取 $s=0$ 可得
$$\begin{aligned} \bm{r}''(0)=\kappa(0)\bm{\beta}(0) \tag{117}\end{aligned}$$将Frenet公式第1. 二式代入第三式
$$\begin{aligned} \bm{\beta}'(s)=&\left(\frac{\bm{\alpha}'(s)}{\kappa(s)}\right)'=\frac{\bm{\alpha}''(s)\kappa(s)-\bm{\alpha}'(s)\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}=\frac{\bm{r}'''(s)\kappa(s)+\kappa(s)\kappa'(s)\bm{\beta}(s)}{\kappa(s)^2}\\[15pt] &=\frac{\bm{r}'''(s)-\kappa'(s)\bm{\beta}(s)}{\kappa(s)}=-\kappa(s)\bm{\alpha}(s)+\tau(s)\gamma(s) \tag{118}\end{aligned}$$取 $s=0$ 可得
$$\begin{aligned} \bm{r}'''(0)=-\kappa^2(0)\bm{\alpha}(0)+\kappa'(0)\bm{\beta}(0)+\kappa(0)\tau(0)\bm{\gamma}(0) \tag{119}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \bm{r}(s)=\bm{r}(0)+\left(s-\frac{\kappa_0^2}{6}s^3\right)\bm{\alpha}(0)+\left(\frac{\kappa_0}{2}s^2+\frac{\kappa'_0}{6}s^3\right)\bm{\beta}(0)+\frac{\kappa_0\tau_0}{6}s^3\bm{\gamma}(0)+\bm{\omicron}(s^3) \tag{120}\end{aligned}$$其中 $\kappa_0=\kappa(0),\kappa'_0=\kappa'(0),\tau_0=\tau(0)$ 。如果把曲线在 $s=0$ 处的Frenet标架 $\set{\bm{r}(0);\bm{\alpha}(0),\bm{\beta}(0),\bm{\gamma}(0)}$ 取作空间 $E^3$ 的Cartesian直角坐标系的标架，则曲线在 $s=0$ 处附近的参数方程成为
$$\begin{aligned} \begin{cases} x=s-\cfrac{\kappa_0^2}{6}s^3+\omicron(s^3)\\[10pt] y=\cfrac{\kappa_0}{2}s^2+\cfrac{\kappa'_0}{6}s^3+\omicron(s^3)\\[10pt] z=\cfrac{\kappa_0\tau_0}{6}s^3+\omicron(s^3) \end{cases} \tag{121}\end{aligned}$$上式成为曲线 $\bm{r}=\bm{r}(s)$ 在 $s=0$ 处的标准展开式。
近似曲线
当 $\kappa_0\tau_0\ne 0$ 时，曲线的标准展开式中的坐标函数 $x(s),y(s),z(s)$ 作为 $s$ 的无穷小量的主要部分分别是 $s,\cfrac{\kappa_0}{2}s^2$ 和 $\cfrac{\kappa_0\tau_0}{6}s^3$ ，于是我们可以考虑一条新的曲线
$$\begin{aligned} \tilde{\bm{r}}(s)=\left(s,\frac{\kappa_0}{2}s^2,\frac{\kappa_0\tau_0}{6}s^3\right) \tag{122}\end{aligned}$$这是一条三次曲线，而且参数 $s$ 一般不是曲线 $\tilde{\bm{r}}(s)$ 的弧长参数，但是在 $s=0$ 处有
$$\begin{aligned} \tilde{\bm{r}}(0)=&(0,0,0)\\[5pt] \tilde{\bm{r}}'(0)=&(1,0,0)\\[5pt] \tilde{\bm{r}}''(0)=&(0,\kappa_0,0)\\[5pt] \tilde{\bm{r}}'''(0)=&(0,0,\kappa_0\tau_0) \tag{123}\end{aligned}$$ 代入(54)和(86)，曲线 $\bm{r}=\tilde{\bm{r}}(s)$ 在 $s=0$ 处的曲率是 $\kappa_0$ ，挠率是 $\tau_0$ ，并且Frenet标架是 $\set{\bm{r}(0);\bm{\alpha}(0),\bm{\beta}(0),\bm{\gamma}(0)}$ ，即它与原来的曲线 $\bm{r}=\bm{r}(s)$ 在 $s=0$ 处有相同的曲率、挠率和Frenet标架。
曲线 $\bm{r}=\tilde{\bm{r}}(s)$ 称为原曲线 $\bm{r}=\bm{r}(s)$ 在 $s=0$ 处的近似曲线，它的性状反映了原曲线的性状。例如，它在密切平面的投影是
它在从切平面上的投影是
$$\begin{aligned} x=s,\quad y=0,\quad z=\frac{\kappa_0\tau_0}{6}s^3 \tag{125}\end{aligned}$$它在法平面上的投影是
$$\begin{aligned} x=0,\quad y=\frac{\kappa_0}{2}s^2,\quad z=\frac{\kappa_0\tau_0}{6}s^3 \tag{126}\end{aligned}$$它们的图像如图4所示。
图4 近似曲线在各坐标面的投影
从图上可以见到，曲线在 $s=0$ 处是穿过曲线在该点的密切平面的。当 $\tau_0>0$ 时，曲线是从下而上地穿过密切平面的；而当 $\tau_0<0$ 时，曲线是从上而下地穿过密切平面的。这就是挠率的正、负号的几何意义。
切触
两条相交的曲线在交点附近的接近程度是用所谓的切触阶来刻画的。设曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 相交于点 $p_0$ ，在 $C_1$ 和 $C_2$ 上各取一点 $p_1$ 和 $p_2$ ，使得曲线 $C_1$ 在点 $p_0$ 和 $p_1$ 之间的弧长是 $\Delta s$ ，$C_2$ 在点 $p_0$ 和 $p_2$ 之间的弧长也是 $\Delta s$ ，若有正整数 $n$ 使得
$$\begin{aligned} \lim\limits_{\Delta s \to 0}\frac{|p_1p_2|}{(\Delta s)^n}=0,\quad \lim\limits_{\Delta s \to 0}\frac{|p_1p_2|}{(\Delta s)^{n+1}}\ne 0 \tag{127}\end{aligned}$$则称曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 在交点 $p_0$ 处有n阶切触。
定理10：设曲线 $\bm{r}_1(s)$ 和 $\bm{r}_2(s)$ 都以 $s$ 为它们的弧长参数，且 $\bm{r}_1(0)=\bm{r}_2(0)$ ，则它们在 $s=0$ 处有 $n$ 阶切触的充分必要条件是
$$\begin{aligned} \begin{cases} \bm{r}_1^{(i)}(0)=\bm{r}_2^{(i)}(0), \space \forall 1 \le i \le n\\[5pt] \bm{r}_1^{(n+1)}(0)\ne \bm{r}_2^{(n+1)}(0) \end{cases} \tag{128}\end{aligned}$$$$\begin{aligned} \bm{r}_1(s)=\bm{r}_1(0)+\frac{s}{1!}\bm{r}_1'(0)+\frac{s^2}{2!}\bm{r}_1''(0)+\cdots+\frac{s^{n+1}}{(n+1)!}\bm{r}_1^{(n+1)}(0)+\bm{\omicron}(s^{n+1}) \tag{129}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \bm{r}_2(s)=\bm{r}_2(0)+\frac{s}{1!}\bm{r}_2'(0)+\frac{s^2}{2!}\bm{r}_2''(0)+\cdots+\frac{s^{(n+1)}}{(n+1)!}\bm{r}_2^{(n+1)}(0)+\bm{\omicron}(s^{n+1}) \tag{130}\end{aligned}$$
将上面两个式子相减并利用条件(128)
$$\begin{aligned} \bm{r}_1(s)-\bm{r}_2(s)=\frac{s^{n+1}}{(n+1)!}\left(\bm{r}_1^{(n+1)}(0)-\bm{r}_2^{(n+1)}(0)\right)+\bm{\omicron}(s^{n+1}) \tag{131}\end{aligned}$$因此
$$\begin{aligned} \lim\limits_{s \to 0}\frac{|\bm{r}_1(s)-\bm{r}_2(s)|}{s^n}=0 \tag{132}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \lim\limits_{s \to 0}\frac{|\bm{r}_1(s)-\bm{r}_2(s)|}{s^{n+1}}=\frac{\left|\bm{r}_1^{(n+1)}(0)-\bm{r}_2^{(n+1)}(0)\right|}{(n+1)!}\ne 0 \tag{133}\end{aligned}$$
反之亦然。
证毕
由此可见，一条正则曲线与由它的Taylor展开式的前 $n+1$ 项之和给出的曲线在该点处至少有 $n$ 阶切触。正则曲线与它的切线至少有 $1$ 阶切触。与它在一点处的近似曲线在该点至少有 $2$ 阶切触。
推论1：两条相交的正则曲线在交点处有 $2$ 阶以上的切触的充分必要条件是，这两条曲线相切、有相同的有向密切平面和相同的曲率。
〔证明(推论1)〕实际上，由定理10，两条相交的正则曲线在交点 $s=0$ 处有 $2$ 阶以上的切触的充分必要条件是
$$\begin{aligned} \bm{r}_1(0)=\bm{r}_2(0),\quad \bm{r}'_1(0)=\bm{r}'_2(0), \quad \bm{r}''_1(0)=\bm{r}''_2(0) \tag{134}\end{aligned}$$前两式说明这两条曲线相切。将第三式代入Frenet公式的前两式可得
$$\begin{aligned} \kappa_1(0)\bm{\beta}_1(0)=\kappa_2(0)\bm{\beta}_2(0) \tag{135}\end{aligned}$$注意 $|\bm{\beta}_1(0)|=|\bm{\beta}_2(0)|=1$ ，则有
$$\begin{aligned} \kappa_1(0)=\kappa_2(0),\quad \bm{\beta}_1(0)=\bm{\beta}_2(0) \tag{136}\end{aligned}$$第一式说明这两条曲线有相同的曲率，第二式说明这两条曲线有相同的有向密切平面。
证毕
曲率圆
对于曲线 $\bm{r}=\bm{r}(s)$ 上 $\kappa(s)>0$ 的点 $s=s_0$ ，还可以在该点的密切平面上构造一条特殊的平面曲线，即在 $\bm{r}(s_0)$ 处的密切平面上作以 $\bm{r}(s_0)+\cfrac{\bm{\beta}(s_0)}{\kappa(s_0)}$ 为中心、以 $\cfrac{1}{\kappa(s_0)}$ 为半径的圆周。这个圆的弧长参数曲线方程可以写成如下两式
$$\begin{aligned} \left(\tilde{\bm{r}}(s')-\left(\bm{r}(s_0)+\frac{\bm{\beta}(s_0)}{\kappa(s_0)}\right)\right)^2=\left(\frac{1}{\kappa(s_0)}\right)^2 \tag{137}\end{aligned}$$(137)代入 $\tilde{\bm{r}}(s')=\bm{r}(s_0)$ ，等式成立，因此可说明该圆和 $\bm{r}=\bm{r}(s)$ 有交点。不妨设 $s'=0$ 时 $\tilde{\bm{r}}(s')=\bm{r}(s_0)$ 。(137)对 $s'$ 求导得
$$\begin{aligned} \tilde{\bm{r}}'(s)\cdot\left(\tilde{\bm{r}}(s)-\left(\bm{r}(s_0)+\frac{\bm{\beta}(s_0)}{\kappa(s_0)}\right)\right)=0 \tag{138}\end{aligned}$$代入 $s'=0$ 可得
$$\begin{aligned} \tilde{\bm{r}}'(0)\cdot\left(\tilde{\bm{r}}(0)-\left(\bm{r}(s_0)+\frac{\bm{\beta}(s_0)}{\kappa(s_0)}\right)\right)=0 \tag{139}\end{aligned}$$注意 $\tilde{\bm{r}}(0)=\bm{r}(s_0)$ ，得
$$\begin{aligned} \tilde{\bm{r}}'(0)\cdot\bm{\beta}(s_0)=0 \tag{140}\end{aligned}$$ 注意 $\tilde{\bm{r}}'(0)$ 和 $\bm{\alpha}(s_0)$ 都在密切平面内并且由Frenet标架可知 $\bm{\alpha}(s_0)\cdot\bm{\beta}(s_0)=0$ ，所以 $\tilde{\bm{r}}'(0)\parallel\bm{\alpha}(s_0)$ ，即 $\tilde{\bm{r}}'(0)\parallel\bm{r}'(s_0)$ （见(34)），故该圆和 $\bm{r}=\bm{r}(s_0)$ 相切。
再对(138)求导并取 $s=0$ 可得
代入 $\tilde{\bm{r}}(0)=\bm{r}(s_0)$ 并利用 $|\bm{r}'(0)|=1$ （见定理1）可得
$$\begin{aligned} \tilde{\bm{r}}''(0)\cdot\bm{\beta}(s_0)=\kappa(s_0) \tag{142}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \tilde{\bm{r}}'(0)\cdot\tilde{\bm{r}}''(0)=0 \tag{143}\end{aligned}$$由(140)和上式可知 $\tilde{\bm{r}}''(0)\parallel\bm{\beta}(s_0)$ （ $\tilde{\bm{r}}''(0)$ 和 $\bm{\beta}(s_0)$ 都在密切平面内）。我们可以通过调整曲线的方向来使得 $\tilde{\bm{r}}''(0)$ 与 $\bm{\beta}(s_0)$ 同向，这样将 $|\bm{\beta}(s_0)|=1$ 和 $\tilde{\kappa}(0)=|\tilde{\bm{r}}''(0)|$ （见 定义1）代入(142)可得
$$\begin{aligned} \tilde{\kappa}(0)=\kappa(s_0) \tag{144}\end{aligned}$$因此这个圆周与原曲线在 $s=s_0$ 处相切，有相同的有向密切平面，并且曲率是 $\kappa(s_0)$ ，因此它与原曲线在点 $s=s_0$ 处有 $2$ 阶以上的切触．通常称这个圆周为曲线 $\bm{r}=\bm{r}(s)$ 在点 $s=s_0$ 处的曲率圆，其圆心 $\bm{r}(s_0)+\cfrac{\bm{\beta}(s_0)}{\kappa(s_0)}$ 称为曲线在 $s=s_0$ 处的曲率中心。其半径 $\cfrac{1}{\kappa(s_0)}$ 称为曲线再 $s=s_0$ 处的曲率半径。曲率圆形象地反映了曲线再一点处的弯曲程度。
与球面的切触
若一条曲线 $C$ 和一个曲面 $\Sigma$ 相交，同样能够用切触阶来刻画曲线和曲面的接近程度。设交点是 $p_0$ 。在曲线 $C$ 上取一点 $p_1$ ，把曲线 $C$ 上从点 $p_0$ 到点 $p_1$ 的弧长记为 $\Delta s$ ，把点 $p_1$ 到曲面 $\Sigma$ 的距离最近的点记为 $p_2$ ，则当(127)成立时，称曲线 $C$ 和曲面 $\Sigma$ 的切触阶是 $n$ 。如果 $\Sigma$ 是以点 $A$ 为中心、以 $r$ 为半径、且与曲线 $C$ 交于点 $p_0$ 的球面，于是点 $p_2$ 恰好是线段 $p_1A$ 与球面 $\Sigma$ 的交点，所以 $|p_1p_2|=|p_1A|-r$ 。因此
$$\begin{aligned} \lim\limits_{\Delta s \to 0}\frac{|p_1p_2|}{|p_1A|^2-r^2}=&\lim\limits_{\Delta s \to 0}\frac{|p_1A|-r}{|p_1A|^2-r^2}\\[15pt] =&\lim\limits_{\Delta s \to 0}\frac{|p_1A|-r}{(|p_1A|-r)(|p_1A|+r)}\\[15pt] =&\lim\limits_{\Delta s \to 0}\frac{1}{|p_1A|+r}\\[15pt] =&\frac{1}{|p_0A|+r}=\frac{1}{2r} \tag{145}\end{aligned}$$ 因此 $|p_1p_2|$ 和 $|p_1A|^2-r^2$ 作为 $\Delta s$ 的无穷小量是同阶的，因此在用(127)求曲线和球面的切触阶时可以用 $|p_1A|^2-r^2$ 代替 $|p_1p_2|$ 。下面，我们来求与曲线 $C$ 在一点处有最高阶切触的球面。
设曲线 $C$ 的参数方程是 $\bm{r}=\bm{r}(s)$ ，$s$ 是弧长参数，它的曲率和挠率都不为零。设球面 $\Sigma$ 与曲线 $C$ 在对应于参数 $s=0$ 的点 $p_0$ 处相交，用 $\set{p_0;\bm{\alpha}_0,\bm{\beta}_0,\bm{\gamma}_0}$ 记曲线 $C$ 在点 $p_0$ 的Frenet标架，则球面 $\Sigma$ 的球心 $A$ 可以设为
其中 $r$ 是球面 $\Sigma$ 的半径。把曲线 $C$ 上的一点 $\bm{r}(s)$ 记为 $p$ ，则由(121)得到
$$\begin{aligned} |pA|^2-r^2=&\left(s-\frac{\kappa_0^2}{6}s^3+\omicron(s^3)-a\right)^2+\left(\frac{\kappa_0}{2}s^2+\frac{\kappa'_0}{6}s^3+\omicron(s^3)-b\right)^2\\[15pt] &+\left(\frac{\kappa_0\tau_0}{6}s^3+\omicron(s^3)-c\right)^2-(a^2+b^2+c^2)\\[15pt] =&-2a\left(s-\frac{\kappa_0^2}{6}s^3+\omicron(s^3)\right)+\left(s-\frac{\kappa_0^2}{6}s^3+\omicron(s^3)\right)^2\\[15pt] &-2b\left(\frac{\kappa_0}{2}s^2+\frac{\kappa'_0}{6}s^3+\omicron(s^3)\right)+\left(\frac{\kappa_0}{2}s^2+\frac{\kappa'_0}{6}s^3+\omicron(s^3)\right)^2\\[15pt] &-2c\left(\frac{\kappa_0\tau_0}{6}s^3+\omicron(s^3)\right)+\left(\frac{\kappa_0\tau_0}{6}s^3+\omicron(s^3)\right)^2 \tag{147}\end{aligned}$$可得
$$\begin{aligned} \lim\limits_{s \to 0}\frac{|p_1p_2|}{s}=\lim\limits_{s \to 0}\frac{|pA|^2-r^2}{s}=2a \tag{148}\end{aligned}$$因此曲线 $C$ 和球面 $\Sigma$ 有 $1$ 阶以上切触的条件是 $a=0$ 。在此条件下，上式可化简为
$$\begin{aligned} |pA|^2-r^2=s^2-b\left(\kappa_0s^2+\frac{\kappa'_0}{3}s^3\right)-c\frac{\kappa_0\tau_0}{3}s^3+\omicron(s^3) \tag{149}\end{aligned}$$有
$$\begin{aligned} \lim\limits_{s \to 0}\frac{|pA|^2-r^2}{s^2}=1-b\kappa_0 \tag{150}\end{aligned}$$因此曲线 $C$ 和球面 $\Sigma$ 有 $2$ 阶以上切触的条件是
$$\begin{aligned} a=0,\quad b=\frac{1}{\kappa_0} \tag{151}\end{aligned}$$在此条件下，(149)成为
$$\begin{aligned} |pA|^2-r^2=\frac{\kappa'_0}{3\kappa_0}s^3-c\frac{\kappa_0\tau_0}{3}s^3+\omicron(s^3) \tag{152}\end{aligned}$$有
$$\begin{aligned} \lim\limits_{s \to 0}\frac{|pA|^2-r^2}{s^3}=\frac{\kappa'_0}{3\kappa_0}-c\frac{\kappa_0\tau_0}{3} \tag{153}\end{aligned}$$因此，曲线 $C$ 和球面 $\Sigma$ 有三阶以上切触的条件是
$$\begin{aligned} a=0,\quad b=\frac{1}{\kappa_0},\quad c=-\frac{\kappa'_0}{\kappa_0^2\tau_0}=\frac{1}{\tau(s)}\left.\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)'\right|_{s=0} \tag{154}\end{aligned}$$并且一般说来，曲线 $C$ 和球面 $\Sigma$ 的最高切触阶只能是 $3$ 。上面的结果可以叙述成如下定理。
定理11： $C:\bm{r}=\bm{r}(s)$ 是曲率和挠率都不为零的正则参数曲线，$s$ 是弧长参数，则在 $s$ 处与曲线 $C$ 有 $3$ 阶以上切触的球面 $\Sigma$ 的球心是
$$\begin{aligned} \bm{r}(s)+\frac{1}{\kappa(s)}\bm{\beta}(s)+\frac{1}{\tau(s)}\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)'\bm{\gamma}(s) \tag{155}\end{aligned}$$半径是
$$\begin{aligned} \sqrt{\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)^2+\left(\frac{1}{\tau(s)}\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)'\right)^2} \tag{156}\end{aligned}$$该球面称为曲线 $C$ 在 $s$ 处的密切球面，其球心所在的直线
$$\begin{aligned} \bm{r}=\bm{r}(\lambda)=\bm{r}(s)+\frac{1}{\kappa(s)}\bm{\beta}(s)+\lambda\bm{\gamma}(s) \tag{157}\end{aligned}$$是通过曲线 $C$ 的曲率中心、垂直于密切平面的直线，称为曲线 $C$ 在 $s$ 处的曲率轴。
注：取 $\lambda=0$ 可得 $\bm{r}(0)=\bm{r}(s)+\cfrac{1}{\kappa(s)}\bm{\beta}(s)$ ，该点即为曲率圆圆心（见(137)）。求导得 $\bm{r}'(\lambda)=\bm{\gamma}(s)$ 可得该直线垂直于密切平面。
最后我们要指出，构造曲线的Frenet标架的过程正是曲线的参数方程逐次求导的过程。实际上，Frenet标架 $\set{\bm{\alpha}(t),\bm{\beta}(t),\bm{\gamma}(t)}$ 是 $\set{\bm{r}'(t),\bm{r}''(t),\bm{r}'''(t)}$ 经过Schmit正交化得到的。$\bm{r}'(t)$ 决定了曲线的切线而曲线的曲率是曲线切线的方向关于弧长的变化率。$\bm{r}'(t),\bm{r}''(t)$ 决定了曲线的密切平面。如果曲线的密切平面的方向不变，则它必定是平面曲线。如果该曲线不是平面曲线，则它的密切平面的方向关于弧长的变化率是曲线的挠率，它反映了曲线的扭曲程度。很明显，曲线方程的更高次导数仍然能够表示成Frenet标架向量的线性组合，其系数是曲率 $\kappa$ 和挠率 $\tau$ 及其各阶导数。
存在对应关系的曲线偶
本节我们要研究存在一定的对应关系的曲线偶．假定在正则参数曲线 $C_1:\bm{r}=\bm{r}_1(t)$ 和正则参数曲线 $C_2:\bm{r}=\bm{r}_2(u)$ 之间存在一个对应，这个对应可以用参数 $t$ 和 $u$ 之间的一个对应来表示，设为 $u=u(t)$ 如果 $u'(t)\ne 0$ ，则 $u=u(t)$ 可以认为是曲线 $C_2$ 的正则参数变换，于是曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 之间的对应成为曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 之间有相同参数的点之间的对应。
Bertrand曲线偶
定义
定义3：如果在互不重合的曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 之间存在一个对应，使得它们在每一对对应点有公共的主法线，则称这两条曲线为Bertrand曲线偶，其中没一条曲线称为另外一条曲线的侣线，或共轭曲线。
每一条平面曲线都有侣线，构成Bertrand曲线偶。事实上，设 $\bm{r}=\bm{r}(s)$ 是在平面上的一条曲线，以 $s$ 为它的弧长参数。于是，$\bm{r}'(s)$ 是曲线的单位切向量场，由(46)和(47)可得
$$\begin{aligned} \bm{r}''(s)=\kappa(s)\bm{n}(s) \tag{158}\end{aligned}$$这里 $\bm{n}(s)$ 是沿曲线定义的法向量场。命
$$\begin{aligned} \bm{r}_1(s)=\bm{r}(s)+\lambda\bm{n}(s) \tag{159}\end{aligned}$$其中 $\lambda$ 是任意给定的一个非零实数，则
$$\begin{aligned} \bm{r}'_1(s)=\bm{r}'(s)+\lambda\bm{n}'(s) \tag{160}\end{aligned}$$根据定理3的 (1) 和 $|\bm{r}'(s)|=1$ 有
$$\begin{aligned} \bm{r}'(s)\cdot\bm{n}(s)=\frac{1}{\kappa(s)}\bm{r}'(s)\cdot\bm{r}''(s)=0 \tag{161}\end{aligned}$$同样由 $|\bm{n}(s)|=1$ 有
$$\begin{aligned} \bm{n}(s)\cdot\bm{n}'(s)=0 \tag{162}\end{aligned}$$因此
$$\begin{aligned} \bm{r}_1'(s)\cdot\bm{n}(s)=\bm{r}'(s)\cdot\bm{n}(s)+\lambda\bm{n}'(s)\cdot\bm{n}(s)=0 \tag{163}\end{aligned}$$注意 $\bm{r}_1(s)$ 也是平面曲线，所以 $\bm{n}(s)$ 也是曲线 $\bm{r}_1(s)$ 的法向量场。由此可见，曲线 $\bm{r}(s)$ 和 $\bm{r}_1(s)$ 在对应点有相同的法线（也是主法线）。因此，寻求Bertrand曲线偶应该在空间挠曲线（即挠率不为零的曲线）中去找。
对应点的常数距离和定切线夹角性质
定理12：设曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 是Bertrand曲线偶，则 $C_1$ 和 $C_2$ 的对应点之间的距离是常数，并且 $C_1$ 和 $C_2$ 在对应点的切线成定角。
〔证明(定理12)〕设曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的参数方程分别是 $\bm{r}_1(s)$ 和 $\bm{r}_2(s)$ ，并且曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 之间的对应是有相同参数的点之间的对应，而且 $s$ 是曲线 $C_1$ 的弧长参数．用 $\set{\bm{r}_1(s);\bm{\alpha}_1(s),\bm{\beta}_1(s),\bm{\gamma}_1(s)}$ 表示曲线 $C_1$ 的Frenet标架，用 $\set{\bm{r}_2(s);\bm{\alpha}_2(s),\bm{\beta}_2(s),\bm{\gamma}_2(s)}$ 表示曲线 $C_2$ 的Frenet标架，但是参数 $s$ 未必是曲线 $r_2(s)$ 的弧长参数，假定曲线 $r_2(s)$ 的弧长参数是 $\tilde{s}$ 。因为曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 在对应点有相同的主法线，故（注意是相同的主法线，而不是主法向量）
$$\begin{aligned} \bm{r}_2(s)=\bm{r}_1(s)+\lambda(s)\bm{\beta}_1(s) \tag{164}\end{aligned}$$并且 $\bm{\beta}_1(s)=\pm\bm{\beta}_2(s)$ 。利用Frenet公式对上式求导数得到
$$\begin{aligned} \bm{\alpha}_2(s)\frac{\mathrm{d}\tilde{s}}{\mathrm{d}s}=&\bm{\alpha}_1(s)+\lambda'(s)\bm{\beta}_1(s)+\lambda(s)(-\kappa_1(s)\bm{\alpha}_1(s)+\tau_1(s)\bm{\gamma}_1(s))\\[5pt] =&(1-\lambda(s)\kappa_1(s))\bm{\alpha}_1(s)+\lambda'(s)\bm{\beta}_1(s)+\lambda(s)\tau_1(s)\bm{\gamma}_1(s) \tag{165}\end{aligned}$$因为 $\bm{\beta}_1(s)=\pm\bm{\beta}_2(s)$ ，所以两边点乘 $\bm{\beta}_2(s)$ 得到
$$\begin{aligned} \bm{\alpha}_2(s)\cdot\bm{\beta}_2(s)\frac{\mathrm{d}\tilde{s}}{\mathrm{d}s}=0=\pm\lambda'(s)\bm{\beta}_1(s)\cdot\bm{\beta}_1(s) \tag{166}\end{aligned}$$故 $\lambda'(s)=0$ ，即
$$\begin{aligned} \lambda(s)=\lambda=常数 \tag{167}\end{aligned}$$因此
$$\begin{aligned} |\bm{r}_2(s)-\bm{r}_1(s)|=|\lambda(s)\bm{\beta}_1(s)|=|\lambda| \tag{168}\end{aligned}$$对 $\bm{\alpha}_1(s)\cdot\bm{\alpha}_2(s)$ 求导并利用Frenet公式得到
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(\bm{\alpha}_1(s)\cdot\bm{\alpha}_2(s))=\kappa_1(s)\bm{\beta}_1(s)\cdot\bm{\alpha}_2(s)+\kappa_2(s)\bm{\alpha}_1(s)\cdot\bm{\beta}_2(s)\frac{\mathrm{d}\tilde{s}}{\mathrm{d}s} \tag{169}\end{aligned}$$注意 $\bm{\beta}_1(s)=\pm\bm{\beta}_2(s)$ 且 $\bm{\alpha}_1(s)\cdot\bm{\beta}_1(s)=0,\bm{\alpha}_2(s)\cdot\bm{\beta}_2(s)=0$ ，因此
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(\bm{\alpha}_1(s)\cdot\bm{\alpha}_2(s))=0 \tag{170}\end{aligned}$$故曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 在对应点的切线成定角。
证毕
存在的充分必要条件
定理13：设正则参数曲线 $C$ 的曲率 $\kappa$ 和挠率 $\tau$ 都不是零，则存在另一条正则参数曲线 $C_1$ ，使得曲线 $C_1$ 和 $C$ 称为Bertrand曲线偶的充分必要条件是，存在常数 $\lambda\ne 0$ 和 $\mu$ 使得
$$\begin{aligned} \lambda\kappa+\mu\tau=1 \tag{171}\end{aligned}$$〔证明(定理13)〕先证必要性。设曲线 $C$ 有侣线 $C_1$ ，它们的参数方程分别是 $\bm{r}(s)$ 和 $\bm{r}_1(s)$ ，并且曲线 $C$ 和 $C_1$ 的对应是有相同参数的点之间的对应，而且 $s$ 是曲线 $C$ 的弧长参数。设 $\tilde{s}$ 是曲线 $C_1$ 的弧长参数。用 $\set{\bm{r}(s);\bm{\alpha}(s),\bm{\beta}(s),\bm{\gamma}(s)}$ 表示曲线 $C$ 的Frenet标架，则由(165)和(167)有
$$\begin{aligned} \bm{\alpha}_1(s)\frac{\mathrm{d}\tilde{s}}{\mathrm{d}s}=(1-\lambda\kappa(s))\bm{\alpha}(s)+\lambda\tau(s)\bm{\gamma}(s) \tag{172}\end{aligned}$$其中 $\lambda\ne 0$ 是常数，因此
$$\begin{aligned} \left|\frac{\mathrm{d}\tilde{s}}{\mathrm{d}s}\right|^2=(1-\lambda\kappa(s))^2+(\lambda\tau(s))^2 \tag{173}\end{aligned}$$另一方面，由定理12可知 $\bm{\alpha}(s)\cdot\bm{\alpha}_1(s)=常数$ ，并且由(172)两边点乘 $\bm{\alpha}(s)$ 并由Frenet标架的正交性得到
$$\begin{aligned} \bm{\alpha}(s)\cdot\bm{\alpha}_1(s)\frac{\mathrm{d}\tilde{s}}{\mathrm{d}s}=1-\lambda\kappa(s) \tag{174}\end{aligned}$$所以
$$\begin{aligned} \frac{1-\lambda\kappa(s)}{\sqrt{(1-\lambda\kappa(s))^2+(\lambda\tau(s))^2}}=常数 \tag{175}\end{aligned}$$化简可得
$$\begin{aligned} \frac{1-\lambda\kappa(s)}{\tau(s)}=\mu=常数 \tag{176}\end{aligned}$$即
$$\begin{aligned} \lambda\kappa(s)+\mu\tau(s)=1 \tag{177}\end{aligned}$$反过来，设正则参数曲线 $C$ 的参数方程是 $\bm{r}(s)$ ，$s$ 是弧长参数，并且它的曲率 $\kappa$ 和挠率 $\tau$ 满足关系是 $\lambda\kappa(s)+\mu\tau(s)=1$ ，其中 $\lambda\ne 0$ ，$\mu$ 是常数。构作曲线 $C_1$ ，使它的参数方程是
$$\begin{aligned} \bm{r}_1(s)=\bm{r}(s)+\lambda\bm{\beta}(s) \tag{178}\end{aligned}$$则由Frenet公式可得
$$\begin{aligned} \bm{r}_1'(s)=&\bm{\alpha}(s)+\lambda(-\kappa\bm{\alpha}(s)+\tau(s)\bm{\gamma}(s))\\[5pt] =&(1-\lambda\kappa(s))\bm{\alpha}(s)+\lambda\tau(s)\bm{\gamma}(s)\\[5pt] =&\mu\tau(s)\bm{\alpha}(s)+\lambda\tau(s)\bm{\gamma}(s) \tag{179}\end{aligned}$$由(50)和 $\bm{\alpha}(s),\bm{\gamma}(s)$ 的单位向量性质可得曲线 $\bm{r}_1(s)$ 的单位切向量是
$$\begin{aligned} \bm{\alpha}_1(s)=&\frac{\bm{r}_1'(s)}{|\bm{r}_1'(s)|}=\frac{\bm{r}_1'(s)}{\sqrt{\bm{r}_1'(s)\cdot\bm{r}_1'(s)}}\\[15pt] =&\frac{\mu}{\sqrt{\lambda^2+\mu^2}}\bm{\alpha}(s)+\frac{\lambda}{\sqrt{\lambda^2+\mu^2}}\bm{\gamma}(s) \tag{180}\end{aligned}$$若用 $\tilde{s}$ 记曲线 $C_1$ 的弧长参数，则上式两边对 $s$ 求导，并两边分别使用Frenet公式可得
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\bm{\alpha}_1(s)}{\mathrm{d}\tilde{s}}\frac{\mathrm{d}\tilde{s}}{\mathrm{d}s}=&\kappa_1(s)\bm{\beta}_1(s)\frac{\mathrm{d}\tilde{s}}{\mathrm{d}s}\\[15pt] =&\left(\frac{\mu}{\sqrt{\lambda^2+\mu^2}}\kappa(s)+\frac{\lambda}{\sqrt{\lambda^2+\mu^2}}\tau(s)\right)\bm{\beta}(s) \tag{181}\end{aligned}$$注意这个等式两边都是向量，因此 $\bm{\beta}_1(s)$ 和 $\bm{\beta}(s)$ 共线，但是 $\bm{\beta}_1(s)$ 和 $\bm{\beta}(s)$ 的模长都是 $1$ ，因此 $\bm{\beta}_1(s)=\pm\bm{\beta}(s)$ 。注意由(178)，$\bm{\beta}(s)$ 即为 $\bm{r}(s)$ 指向 $\bm{r}_1(s)$ 的方向，因此 $C_1$ 和 $C$ 在 $s$ 对应点有相同的主法线，构成Bertrand曲线偶。
证毕
渐伸线与渐缩线
定义
定义4：如果在曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 之间存在一个对应，使得曲线 $C_1$ 在任意一点的切线恰好是曲线 $C_2$ 在对应点的法线，则称曲线 $C_2$ 是 $C_1$ 的渐伸线，同时称曲线 $C_1$ 是 $C_2$ 的渐缩线。
图5 渐伸线和渐缩线
求渐伸线
定理14：设正则参数曲线 $C$ 的参数方程是 $\bm{r}(s)$ ，$s$ 是弧长参数，则 $C$ 的渐伸线的参数方程是
$$\begin{aligned} \bm{r}=\bm{r}(s)+(c-s)\bm{\alpha}(s) \tag{182}\end{aligned}$$其中 $c$ 是任意的常数。
〔证明(定理14)〕设
$$\begin{aligned} \bm{r}_1(s)=\bm{r}(s)+\lambda(s)\bm{\alpha}(s) \tag{183}\end{aligned}$$是曲线 $C$ 的渐伸线。由渐伸线的定义定义4可知，$\bm{\alpha}(s)$ 是曲线 $\bm{r}_1(s)$ 的法向量。对上式求导并利用Frenet公式可得
$$\begin{aligned} \bm{r}_1'(s)=(1+\lambda'(s))\bm{\alpha}(s)+\lambda(s)\kappa(s)\bm{\beta}(s) \tag{184}\end{aligned}$$将上式两边与 $\bm{\alpha}(s)$ 作点乘。注意 $\bm{\alpha}(s)$ 是 $\bm{r}_1(s)$ 的法向量，所以与切向量 $\bm{r}_1'(s)$ 垂直。因此再利用 $\bm{\alpha}(s)$ 和 $\bm{\beta}(s)$ 的正交性
$$\begin{aligned} 1+\lambda'(s)=\bm{r}_1'(s)\cdot\bm{\alpha}(s)=0 \tag{185}\end{aligned}$$因此
$$\begin{aligned} \lambda(s)=c-s \tag{186}\end{aligned}$$将上式代入(183)可得结果。
证毕
曲线的渐伸线可以看作该曲线的切线族的正交轨线，而(182)可以解释为：将一条软线沿曲线放置，把一端固定，另一端慢慢离开原曲线并且把软线抻直，使软线抻直的部分始终保持为原曲线的切线则这另一端描出的曲线就是原曲线的渐伸线。
求渐缩线
定理15：设正则参数曲线 $C$ 的参数方程是 $\bm{r}(s)$ ，$s$ 是弧长参数，则 $C$ 的渐缩线的参数方程是
$$\begin{aligned} \bm{r}=\bm{r}(s)+\frac{1}{\kappa(s)}\bm{\beta}(s)-\frac{1}{\kappa(s)}\left(\tan \int \tau(s)\mathrm{d}s \right)\bm{\gamma}(s) \tag{187}\end{aligned}$$〔证明(定理15)〕设
$$\begin{aligned} \bm{r}_1(s)=\bm{r}(s)+\lambda(s)\bm{\beta}(s)+\mu(s)\bm{\gamma}(s) \tag{188}\end{aligned}$$是曲线的渐缩线。那么 $\lambda(s)\bm{\beta}(s)+\mu(s)\bm{\gamma}(s)$ 应该与曲线 $\bm{r}_1(s)$ 的切向量 $\bm{r}_1'(s)$ 平行。对上式求导再由Frenet公式得到
$$\begin{aligned} \bm{r}_1'(s)=(1-\lambda(s)\kappa(s))\bm{\alpha}(s)+(\lambda'(s)-\mu(s)\tau(s))\bm{\beta}(s)+(\mu'(s)+\lambda(s)\tau(s))\bm{\gamma}(s) \tag{189}\end{aligned}$$上式平行于 $\lambda(s)\bm{\beta}(s)+\mu(s)\bm{\gamma}(s)$ 。又因为 $\bm{\alpha}(s),\bm{\beta}(s),\bm{\gamma}(s)$ 是三个正交归一化矢量，所以其系数应该成比例，即
$$\begin{aligned} \lambda(s)\kappa(s)=1 \tag{190}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \frac{\lambda'(s)-\mu(s)\tau(s)}{\lambda(s)}=\frac{\mu'(s)+\lambda(s)\tau(s)}{\mu(s)} \tag{191}\end{aligned}$$
由(191)得到
$$\begin{aligned} \lambda'(s)\mu(s)-\mu'(s)\lambda(s)=(\lambda^2(s)+\mu^2(s))\tau(s) \tag{192}\end{aligned}$$因此
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{\mu(s)}{\lambda(s)}\right)=-\tau(s) \tag{193}\end{aligned}$$故
$$\begin{aligned} \arctan \left(\frac{\mu(s)}{\lambda(s)}\right)=-\int \tau(s) \mathrm{d}s \tag{194}\end{aligned}$$所以将上式和(190)合并可得
$$\begin{aligned} \lambda(s)=\frac{1}{\kappa(s)},\quad \mu(s)=-\frac{1}{\kappa(s)}\tan \int \tau(s) \mathrm{d}s \tag{195}\end{aligned}$$证毕
平面曲线
参数方程与平面Frenet标架
平面曲线可以看作挠率为零的空间曲线（定理4），因此前面的讨论适用于平面曲线的情形．但是平面曲线有它自身的特点，因此本节只限于平面本身（而不考虑外围的空间）研究其中的曲线的弯曲性质。
在平面 $E^3$ 的右手Cartesian直角坐标系下，曲线 $\bm{r}=\bm{r}(s)$ 可以表示为
其中 $s$ 是弧长参数，因此它的单位切向量是
$$\begin{aligned} \bm{\alpha}(s)=(x'(s),y'(s)),\quad (x'(s))^2+(y'(s))^2=1 \tag{197}\end{aligned}$$因为 $E^3$ 是有向平面，故可以把 $\bm{\alpha}(s)$ 沿正向转 $90\degree$ 得到唯一的一个与 $\bm{\alpha}(s)$ 垂直的单位向量 $\bm{\beta}(s)$ ，很明显
$$\begin{aligned} \bm{\beta}(s)=(-y'(s),x'(s)) \tag{198}\end{aligned}$$这样，沿平面曲线 $\bm{r}=\bm{r}(s)$ 有一个定义好的右手单位正交标架场 $\set{\bm{r}(s);\bm{\alpha}(s),\bm{\beta}(s)}$ ，它在平面曲线的理论中所担当的角色相当 $E^3$ 空间曲线的Frenet标架，称为平面曲线的Frenet标架。值得指出的是，平面曲线的Frenet标架场 $\set{\bm{r}(s);\bm{\alpha}(s),\bm{\beta}(s)}$ 的确定只用到曲线参数方程的一阶导数，$\bm{\beta}(s)$ 是曲线的法向量，它与曲线的主法向量可能差一个正负号。
相对曲率
由于 $\bm{\alpha}(s)$ 是单位向量场，由定理3的 (1) 有 $\bm{\alpha}(s)\perp\bm{\alpha}'(s)$ ，所以 $\bm{\alpha}'(s)$ 是 $\bm{\beta}(s)$ 的倍数，设为
$$\begin{aligned} \bm{\alpha}'(s)=\kappa_r(s)\bm{\beta}(s) \tag{199}\end{aligned}$$因此
$$\begin{aligned} \kappa_r(s)=&\bm{\alpha}'(s)\cdot\bm{\beta}(s)=-x''(s)y'(s)+y''(s)x'(s)\\[10pt] =& \begin{vmatrix} x'(s) & y'(s) \\[5pt] x''(s) & y''(s) \end{vmatrix} \tag{200}\end{aligned}$$我们把 $\kappa_r(s)$ 称为平面曲线的相对曲率，如果该曲线的曲率是 $\kappa(s)$ ，则有
$$\begin{aligned} \kappa_r(s)=\pm\kappa(s) \tag{201}\end{aligned}$$其中“$+$”号表示曲线朝 $\bm{\beta}(s)$ 所指的方向弯曲，$\bm{\beta}(s)$ 恰好是曲线的主法向量，而“$-$” 号表示曲线朝 $\bm{\beta}(s)$ 所指的相反方向弯曲，曲线的主法向量是 $-\bm{\beta}(s)$ 。
图6 平面曲线
平面曲线的Frenet标架的运动公式成为
$$\begin{aligned} \begin{cases} \bm{r}'(s)=\bm{\alpha}(s)\\[5pt] \bm{\alpha}'(s)=\kappa_r(s)\bm{\beta}(s)\\[5pt] \bm{\beta}'(s)=-\kappa_r(s)\bm{\alpha}(s) \end{cases} \tag{202}\end{aligned}$$平面曲线的曲率中心是 $\bm{r}(s)+\cfrac{\bm{\beta}(s)}{\kappa_r(s)}$ （见见曲率中心），这也是平面曲线的渐缩线的参数方程（(187)取 $\tau(s)=0$ ）。
方向角
用 $\theta(s)$ 表示单位切向量 $\bm{\alpha}(s)$ 与 $x$ 轴的正向所构成的角，成为向量 $\bm{\alpha}(s)$ 的方向角。方向角是一个多值函数，但是在 $s$ 的一个小范围内总是可以取出函数 $\theta(s)$ 的一个连续分支。此时
$$\begin{aligned} \bm{\alpha}(s)=(\cos\theta(s),\sin\theta(s)),\quad \bm{\beta}(s)=(-\sin\theta(s),\cos\theta(s)) \tag{203}\end{aligned}$$即
$$\begin{aligned} x'(s)=\cos\theta(s),\quad y'(s)=\sin\theta(s) \tag{204}\end{aligned}$$再求导得到
$$\begin{aligned} x''(s)=-\sin\theta(s)\cdot\theta'(s),\quad y''(s)=\cos\theta(s)\cdot\theta'(s) \tag{205}\end{aligned}$$代入(200)可得
$$\begin{aligned} \kappa_r(s)=\frac{\mathrm{d}\theta(s)}{\mathrm{d}s} \tag{206}\end{aligned}$$上面的式子清楚地说明了相对曲率 $\kappa_r(s)$ 的几何意义。对于平面曲线来说，曲线论基本定理成为下面的显式表达式
$$\begin{aligned} \theta(s)=\theta(s_0)+\int_{s_0}^{s}\kappa_r(s)\mathrm{d}s \tag{207}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} x(s)=x(s_0)+\int_{s_0}^{s}\cos\theta(s)\mathrm{d}s \tag{208}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} y(s)=y(s_0)+\int_{s_0}^{s}\sin\theta(s)\mathrm{d}s \tag{209}\end{aligned}$$
若平面曲线 $\bm{r}=\bm{r}(t)$ 的参数方程是
$$\begin{aligned} \bm{r}(t)=(x(t),y(t)) \tag{210}\end{aligned}$$其中 $t$ 未必是弧长参数。由(33)知曲线的弧长元素是
$$\begin{aligned} \mathrm{d}s=|\bm{r}'(t)|\mathrm{d}t=\sqrt{(x')^2+(y')^2}\mathrm{d}t \tag{211}\end{aligned}$$因此由(50)，它的单位切向量是
$$\begin{aligned} \bm{\alpha}(t)=\frac{\bm{r}'(t)}{|\bm{r}'(t)|}=\left(\frac{x'}{\sqrt{(x')^2+(y')^2}},\frac{y'}{\sqrt{(x')^2+(y')^2}}\right) \tag{212}\end{aligned}$$法向量是
$$\begin{aligned} \bm{\beta}(t)=\left(-\frac{y'}{\sqrt{(x')^2+(y')^2}},\frac{x'}{\sqrt{(x')^2+(y')^2}}\right) \tag{213}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \kappa_r(t)=&\frac{\mathrm{d}\bm{\alpha}(t)}{\mathrm{d}s}\cdot\bm{\beta}(t)=\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}\cdot\bm{\alpha}'(t)\cdot\bm{\beta}(t)\\[15pt] =&\frac{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}{\sqrt{((x')^2+(y')^2)^3}} \tag{214}\end{aligned}$$对于整条平面曲线 $\bm{r}=\bm{r}(s),\space a \le s \le b$ 而言，也能取出其方向角的连续分支 $\theta(s)$ 。事实上，在每一点处单位切向量 $\bm{\alpha}(s)$ 的方向角确定到差 $2\pi$ 的整数倍。这样，我们可以将区间划分得充分的小，设为
$$\begin{aligned} a = s_0 < s_1 < \cdots < s_n = b \tag{215}\end{aligned}$$使得在每一小段区间 $[s_i,s_{i+1}]$ 上，方向角的连续分支 $\theta(s)$ 的变差不超过 $\pi$ 。然后，从 $[s_0,s_1]$ 的一个连续分支出发，通过 $s_1,s_2,\cdots$ 处的连续性条件，依次唯一地确定了各个区间 $[s_i,s_{i+1}]$ 上的连续分支 $\theta(s)$ ，最终得到定义在整条曲线上的方向角连续分支 $\theta(s)$ 。由此可见，方向角任意两个连续分支 $\theta(s)$ 和 $\tilde{\theta}(s)$ 之间差 $2\pi$ 个整数倍，即有整数 $k$ 使得
$$\begin{aligned} \tilde{\theta}(s)-\theta(s)=2k\pi \tag{216}\end{aligned}$$ 由于左边的 $s$ 是连续函数，因此 $k$ 只能是常数，故一条平面曲线的方向角的总变差与连续分支的取法无关，即
$$\begin{aligned} \tilde{\theta}(b)-\tilde{\theta}(a)=\theta(b)-\theta(a) \tag{217}\end{aligned}$$由(207)可知
$$\begin{aligned} \theta(b)-\theta(a)=\int_a^b\kappa_r(s)\mathrm{d}s \tag{218}\end{aligned}$$光滑闭曲线
如果 $\bm{r}=\bm{r}(s),a\le s \le b$ 是 $E^3$ 上的一条光滑曲线，并且
$$\begin{aligned} \bm{r}(b)=\bm{r}(a),\quad \bm{r}'(b)=\bm{r}'(a),\quad \bm{r}''(b)=\bm{r}''(a),\quad \cdots \tag{219}\end{aligned}$$ 则称它为光滑闭曲线。如果 $\bm{r}=\bm{r}(s),a\le s \le b$ 是若干段光滑曲线首尾相接而成的，并且 $\bm{r}(b)=\bm{r}(a)$ ，则称它是分段光滑的闭曲线。
如果 $\bm{r}=\bm{r}(s),a\le s \le b$ 是 $E^3$ 上的一条闭曲线，并且对任意的 $a \le s_1 < s_2 < b$ ，都有
则称该曲线是简单的。简单闭曲线就是没有自交点的闭曲线。
旋转指标
对于连续可微的闭曲线
$$\begin{aligned} C:\bm{r}=\bm{r}(s),\quad a \le s \le b \tag{221}\end{aligned}$$它的单位切向量 $\bm{\alpha}(s)$ 绕曲线转一圈回到起点时与原来的单位切向量重合，因此方向角的总变差 $\theta(b)-\theta(a)$ 一定是 $2\pi$ 的整数倍，它与方向角连续分支 $\bm{\alpha}(s)$ 无关。命
$$\begin{aligned} i(C)=\frac{1}{2\pi}(\theta(b)-\theta(a)) \tag{222}\end{aligned}$$称为连续可谓闭曲线 $C$ 的旋转指标。
定理16（Hopf Umlaufsatz定理）：若 $C$ 是平面 $E^2$ 上一条连续可微的简单闭曲线，则它的旋转指标 $i(C)=\pm 1$ 。
要证明Hopf Umlaufsatz定理，首先证明如下两个引理。
引理1：对于区间 $I=[a,b]$ ，函数 $f\in C(I,S^1)$ 满足 $f(a)=f(b)$ ，则存在 $\theta\in C(I,\R)$ 使得 $f(t)=(\cos\theta(t),\sin\theta(t)),\forall t \in I$ 。其中 $S^1$ 表示以原点为中心的单位圆。并称 $\cfrac{1}{2\pi}(\theta(b)-\theta(a))$ 为 $f$ 的角度改变量（注意 $f(a)=f(b)$ ，因此 $\theta(b)-\theta(a)$ 必为 $2\pi$ 的整数倍）。
〔证明(引理1)〕任取一点 $t_0 \in I$ ，由 $f$ 的连续性，存在 $\varepsilon_0>0$ 和连续函数 $\theta_{t_0}$ 使得 $f(t)=(\cos\theta_{t_0}(t),\sin\theta_{t_0}(t))$ ，对于任意 $t \in (t_0-\varepsilon_0,t_0+\varepsilon_0)\cap I$ 成立。注意对于所有 $t_0 \in I$ 都有这样的 $(t_0-\varepsilon_0,t_0+\varepsilon_0)\cap I$ 成立，但是由有限覆盖定理，存在其中的有限个区间 $\set{t_i-\varepsilon_i,t_i+\varepsilon_i}_{i=1}^{N}$ 覆盖 $I$ 。不妨设 $t_1 < t_2 < \cdots < t_N $ ，记 $I_i=(t_i-\varepsilon_i,t_i+\varepsilon_i)$ ，则相邻开区间交集非空，并且由 $f(t),\cos\theta,\sin\theta$ 的连续性可知交集处的 $f(t)$ 不会出现多值，即 $f(t)_{t_i}=f(t)_{t_{i+1}},\theta(t)_{t_i}=\theta(t)_{t_{i+1}},t\in I_i \cap I_{i+1} \cap I$ 。定义 $\theta(t)=\theta_{t_i}(t)$ 当 $ t \in I_i \cap I$ ，则 $\theta(t)$ 连续，即满足条件的角函数。
证毕
引理2：对于区间 $I=[a,b]$ ，函数 $f_1,f_2 \in C(I,S^1)$ 满足 $f_1(a)=f_1(b),f_2(a)=f_2(b)$ 。若 $f_1$ 与 $f_2$ 的角度改变量不相等，则存在 $t_0 \in I$ 使得 $f_1(t_0)=-f_2(t_0)$ 。相反，若不存在 $t \in I$ 使得 $f_1(t)=-f_2(t)$ ，则 $f_1$ 与 $f_2$ 角度改变量相等。
〔证明(引理2)〕记 $\theta_1,\theta_2$ 分别为 $f_1,f_2$ 的角函数，由引理1可知 $\theta_1,\theta_2$ 在 $[a,b]$ 上连续。设 $\delta(t)=\theta_2(t)-\theta_1(t)$ ，则
$$\begin{aligned} |\delta(b)-\delta(a)|=|(\theta_2(b)-\theta_2(a))-(\theta_1(b)-\theta_1(a))|\ge 2\pi \tag{223}\end{aligned}$$因为 $\theta_2(b)-\theta_2(a)$ 和 $\theta_1(b)-\theta_1(a)$ 分别是 $f_1$ 和 $f_2$ 的角度改变量，而 $f_1$ 和 $f_2$ 的角度改变量又不相等，所以至少相差 $2\pi$ 。由上式和介值定理可知，$\delta(a)$ 和 $\delta(b)$ 之间必然存在一个 $t_0 \in [a,b]$ 使得
$$\begin{aligned} \delta(t_0)=\theta_1(t_0)-\theta_2(t_0)=(2k+1)\pi,k \in \Z \tag{224}\end{aligned}$$注意由引理1可得
$$\begin{aligned} \begin{cases} f_1(t_0)=(\cos\theta_1(t_0),\sin\theta_1(t_0))\\[5pt] f_2(t_0)=(\cos\theta_2(t_0),\sin\theta_2(t_0)) \end{cases} \tag{225}\end{aligned}$$代入(224)可得
$$\begin{aligned} f_1(t_0)=-f_2(t_0) \tag{226}\end{aligned}$$证毕
接下来证明Hopf Umlaufsatz定理。
〔证明(Hopf Umlaufsatz定理)〕首先建立曲线相关的坐标系。设有一不和曲线 $C$ 相交的直线，平行移动这条直线直到与曲线 $C$ 相切，记此时的这条直线为 $L$ ，切点为 $p$ 。此时，整条曲线 $C$ 落在 $L$ 的一侧。如下图所示。
图7 曲线 $C$ 和直线 $L$
以切点 $p$ 为起点构造简单闭曲线 $C$ 的长参数 $s$ ，以逆时针为正方向，同时设简单闭曲线 $C$ 周长为 $l$ 。对于简单闭曲线，$s$ 可以延拓到 $(-\infin,\infin)$ 上，只需令
$$\begin{aligned} \bm{r}(s)=\bm{r}\left(s-l\left\lfloor \frac{s}{l} \right\rfloor\right) \tag{227}\end{aligned}$$ 其中 $\left\lfloor \cfrac{s}{l} \right\rfloor$ 是不大于 $\cfrac{s}{l}$ 的最小整数。$\bm{r}(s)$ 是连续的，因为 $\bm{r}(0)=\bm{r}(l)$ 。
记 $T=\set{(s_1,s_2)|0 \le s_1 \le s_2 \le l}$ ，其中 $s_1,s_2$ 为弧长参数。定义函数 $\bm{\psi}:T \to S^1$ 如下
首先证明 $\bm{\psi}$ 连续。对 $s_1=s_2$ ，首先由于 $s_1,s_2$ 都是弧长参数，因此由定理1可得
$$\begin{aligned} |\bm{r}'(s_1)|=|\bm{r}'(s_2)|=1 \tag{229}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} |\bm{r}'(s_2)|=&\left|\lim\limits_{s_1 \to s_2}\frac{\bm{r}(s_2)-\bm{r}(s_1)}{s_2-s_1}\right|=\sqrt{\left(\lim\limits_{s_1 \to s_2}\frac{\bm{r}(s_2)-\bm{r}(s_1)}{s_2-s_1}\right)^2}\\[15pt] =&\lim\limits_{s_1 \to s_2}\sqrt{\left(\frac{\bm{r}(s_2)-\bm{r}(s_1)}{s_2-s_1}\right)^2}=\lim\limits_{s_1 \to s_2}\frac{|\bm{r}(s_2)-\bm{r}(s_1)|}{|s_2-s_1|}=1 \tag{230}\end{aligned}$$注意 $s_2 \ge s_1$ ，利用上式可得
$$\begin{aligned} \lim\limits_{s_1 \to s_2}\bm{\psi}(s_1,s_2)=\lim\limits_{s_1 \to s_2}\frac{\bm{r}(s_2)-\bm{r}(s_1)}{|\bm{r}(s_2)-\bm{r}(s_1)|}=\lim\limits_{s_1 \to s_2}\frac{\bm{r}(s_2)-\bm{r}(s_1)}{s_2-s_1}\lim\limits_{s_1 \to s_2}\frac{|s_2-s_1|}{|\bm{r}(s_2)-\bm{r}(s_1)|}=\bm{r}'(s_2) \tag{231}\end{aligned}$$对 $s_1 \to 0, s_2 \to l$ ，注意曲线的总长度为 $l$ ，因此 $s_2 \to l$ 相当于 $s_2 \to 0^-$ 。因此利用(230)可得
$$\begin{aligned} \lim\limits_{s_1 \to 0, s_2 \to l}\bm{\psi}(s_1,s_2)=&\lim\limits_{s_1 \to 0, s_2 \to 0^-}\frac{\bm{r}(s_2)-\bm{r}(s_1)}{|\bm{r}(s_2)-\bm{r}(s_1)|}=\lim\limits_{s_2 \to 0^-}\frac{\bm{r}(s_2)-\bm{r}(0)}{|\bm{r}(s_2)-\bm{r}(0)|}\\[15pt] =&\lim\limits_{s_2 \to 0^-}\frac{\bm{r}(s_2)-\bm{r}(0)}{s_2-0}\lim\limits_{s_2 \to 0^-}\frac{-|s_2-0|}{|\bm{r}(s_2)-\bm{r}(0)|}=-\bm{r}'(0) \tag{232}\end{aligned}$$ 注意曲线是简单曲线，由(220)，对于 $s_1 \ne s_2$ ，$\bm{r}(s_1) \ne \bm{r}(s_2)$ ，所以 $\bm{\psi}(s_1,s_2)$ 不会出现间断点。因此总的来说 $\bm{\psi}(s_1,s_2)$ 是连续的。
接下来我们需要在 $s_1s_2$ 平面上构造一个连续映射。以 $s_1$ 为横轴，$s_2$ 为纵轴建立直角坐标系，则 $s_1,s_2 \in T$ 的区域为一个上三角形，如图8所示。设 $\alpha_0:[0,1]\to T$ 为连接 $(0,0),(l,l)$ 两点的直线段参数曲线，，$\alpha_1:[0,1]\to T$ 为连接 $(0,0),(0,l),(l,l)$ 三点的折线段参数曲线。在 $\alpha_0,\alpha_1$ 之间取端点为 $(0,0),(l,l)$ 的参数曲线族 $\alpha_u:[0,1]\to T, u \in [0,1]$ ，使得当 $u$ 由 $0$ 连续变化到 $1$ 时 $\alpha_u$ 也由 $\alpha_0$ 连续变化到 $\alpha_1$ 。注意这里连续的意思是指映射 $(u,t) \to \alpha_u(t), \space [0,1]\times[0,1] \to T$ 为连续映射。例如选取 $\alpha_u$ 为连接 $(0,0),\left(\cfrac{l-lu}{2},\cfrac{l+lu}{2}\right),(l,l)$ 三点的折线段参数曲线即可。如下图。
图8 连续映射
我们假设这一族曲线段在在图8坐标系中的参数都是 $t \in [0,1]$ ，$t$ 不一定是弧长参数，但是可以表征点在单个曲线上的位置。参数 $t$ 先经过 $\alpha_u(t)$ 变换成 $(s_1,s_2) \in T$ ，再经过 $\bm{\psi}(s_1,s_2)$ 变换成 $S^1$ 上的单位向量。对于任意 $u \in [0,1]$ ，定义 $D(u)$ 为 $\bm{\psi} \circ \alpha_u:[0,1] \to S^1$ 的角度改变量。由映射 $(u,t) \to \alpha_u(t), \space [0,1]\times[0,1] \to T$ 和 $\bm{\psi}$ 的连续性可得函数 $\bm{\psi} \circ \alpha_u(t)$ 关于 $(u,t)$ 连续（见拓扑空间-命题9）。因此，任取 $u_0 \in [0,1]$ ，对于任意 $\varepsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$ 使得 $|\bm{\psi} \circ \alpha_u(t) - \bm{\psi} \circ \alpha_{u_0}(t)| < \varepsilon,\forall s \in [0,1], u \in B(u_0,\delta)\cap [0,1]$ 。只需要取 $\varepsilon_0 = 1$ ，则存在 $\delta_0$ ，任取 $u \in B(u_0,\delta)\cap [0,1]$ ，有 $|\bm{\psi} \circ \alpha_u(t) - \bm{\psi} \circ \alpha_{u_0}(t)| < \varepsilon_0=1$ ，因此 $\bm{\psi} \circ \alpha_u(t) \ne -\bm{\psi} \circ \alpha_{u_0}(t), \forall s \in [0,1]$ 。否则 $|\bm{\psi} \circ \alpha_u(t) - \bm{\psi} \circ \alpha_{u_0}(t)| = 2|\bm{\psi} \circ \alpha_u(t)| = 2 > 1 = \varepsilon_0$ （注意 $\bm{\psi} \circ \alpha_u(t)$ 是映射到 $S^1$ 上的单位向量，因此模长为 $1$ ）。因此根据引理2，$\bm{\psi} \circ \alpha_u(t)$ 和 $\bm{\psi} \circ \alpha_{u_0}(t)$ 的角度改变量相等。因此 $D(u)$ 是一个局部连续的常函数（在 $B(u_0,\delta)\cap [0,1]$ 内）。但是注意由引理1，$D(u)$ 必须是整数，因此其不能跳跃，只能是在 $[0,1]$ 上的常函数。
我们可以观察一下 $D(0)=\bm{\psi} \circ \alpha_0:[0,1] \to S^1$ 。对直线段 $\alpha_0$ 有 $s_1=s_2=s,s\in[0,l]$ ，由(228)可知此时 $\bm{\psi} \circ \alpha_0 = \bm{r}'(s)$ ，而由 $D(u)$ 的定义，$D(0)$ 就是 $\bm{r}'(s),s \in [0,l]$ 的角度改变量，也就是(222)中的旋转指标。由于我们已经证明了 $D(u)$ 是个常函数，因此有 $D(0)=D(1)$ ，那我们不妨通过求 $D(1)$ 来求旋转指标 $D(0)$ 。对 $D(1)$ ，从 $(0,0)$ 到 $(0,l)$ 这段路，$\alpha_1(t)=(0,s_2),s_2 \in [0,l],(0,s_2)\in T$ ，因此 $\bm{\psi}\circ\alpha_1(t)=\bm{\psi}(0,s_2)=\cfrac{\bm{r}(s_2)-\bm{r}(0)}{|\bm{r}(s_2)-\bm{r}(0)|},s_2 \in [0,1]$ 。注意对于图7坐标系，$\bm{r}(s_2)$ 是不可能翻到直线 $L$ 的另一侧去的，因此 $\bm{r}(s_2),s_2\in [0,l]$ 的角度变化量必然被限制在 $[0,\pi]$ 内，$\bm{\psi}(0,s_2)=\cfrac{\bm{r}(s_2)-\bm{r}(0)}{|\bm{r}(s_2)-\bm{r}(0)|},s_2 \in [0,l]$ 的角度变化量也被限制在 $[0,\pi]$ 内。而由(228)可知 $\bm{\psi}(0,0)=\bm{r}'(0),\bm{\psi}(0,l)=-\bm{r}'(0)$ ，刚好转了 $\pi$ 角度，因此 $\bm{\psi}\circ\alpha_1(t)=\bm{\psi}(0,s_2)$ 在 $s_2 \in [0,l]$ 上的角度变化量就是 $\pi$ 。再考虑 $(0,l)$ 到 $(l,l)$ 这段路径。此时 $\alpha_1(t)=(s_1,l),s_1 \in [0,1],(s_1,l)\in T$ ，$\bm{\psi}\circ\alpha_1(t)=\bm{\psi}(s_1,l)=\cfrac{\bm{r}(s_1)-\bm{r}(l)}{|\bm{r}(s_1)-\bm{r}(l)|},s_1 \in [0,1]$ ，同理由(228)可知 $\bm{\psi}(0,l)=-\bm{r}'(0),\bm{\psi}(l,l)=\bm{r}'(l)=\bm{r}'(0)$ ，$\bm{\psi}\circ\alpha_1(t)=\bm{\psi}(s_1,l),s_1 \in [0,1]$ 的角度改变量也是 $\pi$ 。综上所述，由角度改变量的可叠加性，$\bm{\psi} \circ \alpha_1(t), t \in [0,1]$ 的角度改变量为 $\pi+\pi=2\pi$ ，即 $D(1)=2\pi$ 。由于 $D(0)=D(1)$ ，$D(0)=2\pi$ ，即旋转指标为 $2\pi$ 。注意我们对曲线 $C$ 的弧长参数 $s$ 假设的是以逆时针方向为正方向，倘若以顺时针方向为正方向，由 $\bm{r}'(0)$ 转到 $-\bm{r}'(0)$ 就必须是转 $-\pi$ 角才能实现的了，$-\bm{r}'(0)$ 转到 $\bm{r}'(0)$ 同理。因此，根据弧长参数的方向是顺时针还是逆时针，$D(0)$ 可取 $\pm 2\pi$ 。即 $i(C)=\pm 2\pi$ 。证毕。
Hopf Umlaufsatz定理是曲线大范围微分几何性质，其直观意义是明显的。若 $C$ 是分段光滑的简单闭曲线，则曲线的方向角的总变差是
$$\begin{aligned} \theta(b)-\theta(a)=\int_a^b\kappa_r(s)\mathrm{d}s+\sum_i\theta_i \tag{233}\end{aligned}$$这里 $\theta_i$ 是曲线在各个角点处的外角，$-\pi < \theta_i < \pi$ ，即
$$\begin{aligned} \theta_i = \angle(\bm{\alpha}(s_i^-),\bm{\alpha}(s_i^+)) \tag{234}\end{aligned}$$其中 $s_i$ 是曲线的角点所对应的参数，曲线在每一段区间 $(s_i,s_{i+1})$ 上是连续可微的。在上述意义下，Hopf Umlaufsatz定理对于分段连续可微的简单闭曲线仍然是成立的。实际上，在每个角点引入一小段弧线，让整体连续可微再取极限即可直接套用Hopf Umlaufsatz定理。
证毕
给岁月以文明，而不是给文明以岁月。― 刘慈欣, 《三体Ⅱ：黑暗森林》