拓扑空间
拓扑空间
拓扑空间的定义
拓扑空间与拓扑公理
定义1（拓扑空间）：设 $X$ 是一非空集合，$X$ 的一个子集族 $\tau$ 称为 $X$ 的一个拓扑，如果它满足
(1) $X,\varnothing$ 都包含在 $\tau$ 中。
(2) $\tau$ 中任意多个成员的并集仍在 $\tau$ 中。
(3) $\tau$ 中有限多个成员的交集仍在 $\tau$ 中。
集合 $X$ 和它的一个拓扑 $\tau$ 一起称为一个拓扑空间，记作 $(X,\tau)$ 。称 $\tau$ 中的成员为这个拓扑空间的开集。
定义中的三个条件称为拓扑公理。(3)可等价地换为
(3′) $\tau$ 中两个成员的交集仍在 $\tau$ 中。
(3) 蕴含(3′)，另一方面易用归纳法从(3′)推出(3)。
离散拓扑和平凡拓扑
从定义看出，给出集合的一个拓扑就是规定它的哪些子集是开集。这种规定不是任意的，必须满足三条拓扑公理。但一般来说一个集合上可以规定许多不相同的拓扑，因此说到一个拓扑空间时，要同时指明集合及所规定的拓扑，以后在不会引起误解的情况下，也常常只用集合来称呼一个拓扑空间，如拓扑空间 $X$ ，拓扑空间 $Y$ 等。
设 $X$ 是一非空集合，显然 $2^X$ 满足三个拓扑公理（见幂集），构成 $X$ 上的拓扑，称为 $X$ 上的离散拓扑；$\set{X,\varnothing}$ 也是 $X$ 上的拓扑，称为 $X$ 上的平凡拓扑。当 $X$ 中包含多余一个点时，这两个拓扑不相同，并且 $X$ 还有许多别的拓扑。例如设 $X=\set{a,b,c}$ ，则 $\set{X,\varnothing,\set{a}}$ 、 $\set{X,\varnothing,\set{a,b}}$ 、 $\set{X,\varnothing,\set{a},\set{a,b}}$ 都是 $X$ 上的拓扑；但 $\set{X,\varnothing,\set{a},\set{b}}$ 不是拓扑，因为条件(2)不满足。
设 $\tau_1,\tau_2$ 是集合 $X$ 上的两个拓扑，如果 $\tau_1 \subset \tau_2$ ，则说 $\tau_2$ 比 $\tau_1$ 大（或者说 $\tau_2$ 比 $\tau_1$ 精细）。离散拓扑比任何别的拓扑都大，而平凡拓扑比任何拓扑都小。
几个拓扑例子
下面给出几个拓扑的例子。
例1：设 $X$ 是无限集合，$\tau_f=\set{A^c|A是X的有限子集}\bigcup\set{\varnothing}$ ，则不难验证 $\tau_f$ 是 $X$ 上的一个拓扑，成为 $X$ 上的余有限拓扑。
例2：设 $X$ 是不可数无限集合，$\tau_c=\set{A^c|A是X的可数子集}\bigcup\set{\varnothing}$ ，则 $\tau_c$ 也是 $X$ 的拓扑，成为余可数拓扑。
例3：设 $\bm{R}$ 是全体实数的几何，规定 $\tau_e=\set{U|U是若干个区间的并集}$ ，这里“若干”可以是无穷、有限，也可以是零，因此 $\varnothing\in\tau_e$ 。则 $\tau_e$ 是 $R$ 上的拓扑，称为 $R$ 上的Euclid拓扑，记 $\bm{E}^1=(\bm{R},\tau_e)$ 。
现在，对 $R$ 已规定了五个拓扑：平凡拓扑 $\tau_t$ ，离散拓扑 $\tau_s$ ，余有限拓扑 $\tau_f$ ，余可数拓扑 $\tau_c$ 和Euclid拓扑 $\tau_e$ 。$\tau_f$ 小于 $\tau_c$ 和 $\tau_e$ ，而 $\tau_c$ 和 $\tau_e$ 不能比较大小。
度量拓扑
度量与度量空间
集合 $X$ 上的一个度量 $d$ 是一个映射 $d:X\times X \to R$ ，它满足
(1) 正定性。
(2) 对称性。
$$\begin{aligned} d(x,y)=d(y,x),\quad\forall x,y \in x \tag{2}\end{aligned}$$(3) 三角不等式。
$$\begin{aligned} d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z),\space\forall x,y,z \in X \tag{3}\end{aligned}$$当集合 $X$ 上规定了一个度量 $d$ 后，称为度量空间，记作 $(X,d)$ 。
Euclid空间
例4：记 $\bm{R}^n=\set{(x_1,x_2,\cdots,x_n)|x_i\in\bm{R},i=1,\cdots,n}$ ，规定 $R$ 上的度量 $d$ 为
$$\begin{aligned} d((x_1,x_2,\cdots,x_n),(y_1,y_2,\cdots,y_n))=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2} \tag{4}\end{aligned}$$直接代入可得 $d$ 满足度量的性质度量条件(1)和度量条件(2)。对于度量条件(3)，使用Cauchy-Schwartz不等式可得
$$\begin{aligned} \left(d(\bm{x},\bm{y})+d(\bm{y},\bm{z})\right)^2&=d(\bm{x},\bm{y})^2+d(\bm{y},\bm{z})^2+2d(\bm{x},\bm{y})d(\bm{y},\bm{z})\\[5pt] =&\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2+\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2+2\sqrt{\left(\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2\right)}\\[15pt] \ge&\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2+\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2+2\sqrt{\left(\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)(y_i-z_i)\right)^2}\text{（Cauchy-Schwartz不等式）}\\[15pt] =&\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2+\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2+2\left|\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)(y_i-z_i)\right|\\[15pt] =&\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2+\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2+2\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)(y_i-z_i)\\[15pt] =&\sum_{i=1}^{n}\bigg((x_i-y_i)^2+2(x_i-y_i)(y_i-z_i)+(y_i-z_i)^2\bigg)\\[15pt] =&\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i+y_i-z_i)^2 = \sum_{i=1}^{n}(x_i-z_i)^2 = d(\bm{x},\bm{z})^2 \tag{5}\end{aligned}$$注意 $d(\bm{x},\bm{y}),d(\bm{y},\bm{z}),d(\bm{x},\bm{z})$ 都大于 $0$ ，故 $d(\bm{x},\bm{z}) \le d(\bm{x},\bm{y})+d(\bm{y},\bm{z})$ 。度量条件(3)满足。
记 $\bm{E}^n=(\bm{R}^n,d)$ ，称为n维Euclid空间。
设 $(X,d)$ 是一个度量空间，我们来规定 $X$ 的一个拓扑。
球形邻域
定义2（球形邻域）：设 $x_0 \in X,\varepsilon$ 是一正数，称 $X$ 的子集
$$\begin{aligned} B(x_0,\varepsilon)=\set{x \in X | d(x_0,x)<\varepsilon} \tag{6}\end{aligned}$$为以 $x_0$ 为中心，$\varepsilon$ 为半径的球形邻域。
引理1： $(X,d)$ 的任意两个球形邻域的交集是若干球形邻域的并集。
图1 球形邻域的交集
〔证明(引理1)〕设 $U=B(x_1,\varepsilon_1)\cap B(x_2,\varepsilon_2)$ 。$\forall x \in U$ ，则由球形邻域定义知 $\varepsilon_i-d(x,x_i)>0(i=1,2)$ 。记 $\varepsilon_x=\min\set{\varepsilon_1-d(x,x_1),\varepsilon_2-d(x,x_2)}$ 。我们考虑任意 $x' \in B(x,\varepsilon_x)$ ，由球形邻域定义知 $d(x',x)<\varepsilon_x$ 。又知 $\varepsilon_x=\min\set{\varepsilon_1-d(x,x_1),\varepsilon_2-d(x,x_2)}<\varepsilon_1-d(x,x_1)$ ，有 $d(x',x)<\varepsilon_1-d(x,x_1)$ ，即 $d(x',x)+d(x,x_1)<\varepsilon_1$ 。由三角不等式可知 $d(x',x_1) < d(x',x)+d(x,x_1) < \varepsilon_1$ ，所以由球形邻域定义可知 $x' \in B(x_1,\varepsilon_1)$ ，同理可证 $x' \in B(x_2,\varepsilon_2)$ ，即 $x' \in B(x_1,\varepsilon_1)\cap B(x_2,\varepsilon_2) = U$ ，故 $B(x,\varepsilon_x) \subseteq U$ ，对所有 $x$ 求并集有 $\displaystyle\bigcup_{x\in U}B(x,\varepsilon_x) \subseteq U$ 。但是由球形邻域定义又有 $\forall x \in U,x \in B(x,\varepsilon_x) \subseteq \displaystyle\bigcup_{x\in U}B(x,\varepsilon_x)$ ，即 $U \subseteq \displaystyle\bigcup_{x\in U}B(x,\varepsilon_x)$ ，最后我们得到
$$\begin{aligned} U=\bigcup_{x\in U}B(x,\varepsilon_x) \tag{7}\end{aligned}$$证毕
度量拓扑
命题1：规定 $X$ 的子集族 $\tau_d=\set{U|U是若干个球形邻域的并集}$ 。则 $\tau_d$ 是 $X$ 上的一个拓扑（若干可以是无穷、可以是有限、也可以是零）。
〔证明(命题1)〕对拓扑公理(1)，取 $\displaystyle\left(\bigcup_{x \in X}B(x,\varepsilon_x)\right)\bigcap X$ 即可得到 $X$ ，而取 $x=\varnothing$ 即可得到 $\varnothing$ ，所以满足。对拓扑公理(2)，由 $U$ 的定义容易知道满足。对拓扑公理(3)，设 $U,U' \in \tau_d$ ，记 $U=\displaystyle\bigcup_{\alpha}B(x_\alpha,\varepsilon_\alpha),U'=\displaystyle\bigcup_{\beta}B(x'_\beta,\varepsilon'_\beta)$ ，由集合及其运算-(49)
$$\begin{aligned} U \cup U' =& \left(\bigcup_{\alpha}B(x_\alpha,\varepsilon_\alpha)\right)\cap\left(\bigcup_{\beta}B(x'_\beta,\varepsilon'_\beta)\right)\\[15pt] =&\bigcup_{\beta}\left(\left(\bigcup_{\alpha}B(x_\alpha,\varepsilon_\alpha)\right)\cap B(x'_\beta,\varepsilon'_\beta)\right)\text{（集合及其运算-(49)）}\\[15pt] =&\bigcup_{\beta}\left(B(x'_\beta,\varepsilon'_\beta)\cap\left(\bigcup_{\alpha}B(x_\alpha,\varepsilon_\alpha)\right)\right)\\[15pt] =&\bigcup_{\beta}\left(\bigcup_{\alpha}(B(x'_\beta,\varepsilon'_\beta)\cap B(x_\alpha,\varepsilon_\alpha))\right)\text{（集合及其运算-(49)）}\\[15pt] =&\bigcup_{\alpha,\beta}(B(x_\alpha,\varepsilon_\alpha)\cap B(x'_\beta,\varepsilon'_\beta))\\[15pt] \tag{8}\end{aligned}$$根据引理1，对任何 $\alpha,\beta$ ，$B(x_\alpha,\varepsilon_\alpha)\cap B(x'_\beta,\varepsilon'_\beta) \in \tau_d$ 。再由拓扑公理(2)，得出 $U \cap U' \in \tau_d$ 。
证毕
称 $\tau_d$ 为 $X$ 上由度量 $d$ 决定的度量拓扑。每个度量空间都自然地看成具有度量拓扑的拓扑空间，从而Euclid空间 $\bm{E}^n$ 也是拓扑空间（其度量拓扑称为Euclid拓扑）。从这个意义上讲，拓扑空间是Euclid空间和度量空间的推广。三条拓扑公理也正是从度量空间的开集所具有的最基本的性质中抽象出来的。
拓扑空间中的几个基本概念
下面要讲的几个基本的拓扑概念在欧氏空间和度量空间中都已出现过，但现在用开集概念来规定它们。
闭集
定义3：拓扑空间 $X$ 的一个子集 $A$ 称为闭集，如果 $A^c$ 是开集（见拓扑空间）。
也就是说，闭集就是开集的补集，反过来开集一定是一个闭集的补集。例如在离散拓扑空间中，任何子集都是开集，从而任何子集也都是闭集；平凡拓扑空间 $X$ 中，只有两个闭集： $X=\varnothing^c$ 和 $\varnothing = X^c$ 。在 $(\bm{R},\tau_f)$ 中，闭集或是 $X$ ，或为有限集；而 $(\bm{R},\tau_c)$ 中的闭集是X或可数集。
命题2：拓扑空间的闭集满足：
(1) $X$ 与 $\varnothing$ 都是闭集。
(2) 任意多个闭集的交集是闭集。
(3) 有限个闭集的并集是闭集。
〔证明(命题2)〕
(1) 由拓扑空间的定义可知 $X,\varnothing$ 一定是某个拓扑 $\tau$ 的子集，也就是 $X,\varnothing$ 一定是开集。而 $X^c=\varnothing,\varnothing^c = X$ ，因此 $X,\varnothing$ 也是闭集。
(2) 设有任意多个闭集 $A_1,A_2,\cdots,A_i,\cdots$ 。由 $A_i$ 是闭集可得 $A_i^c$ 是开集，而由拓扑公理(2)，任意多个 $A_i^c$ 的并集 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infin} A_i^c$ 也在拓扑空间 $\tau$ 内，即也是开集。因此由定义3，$\displaystyle\left(\bigcup_{i=1}^{\infin} A_i^c\right)^c$ 是闭集，再由De Morgan公式可得 $\displaystyle\left(\bigcup_{i=1}^{\infin} A_i^c\right)^c=\bigcap_{i=1}^{\infin} (A_i^c)^c=\bigcap_{i=1}^{\infin} A_i$ 是闭集。因此任意多个闭集的交集是闭集。
(3) 设有有限个闭集 $A_1,A_2,\cdots,A_i,\cdots,A_n$ 。由 $A_i$ 是闭集可得 $A_i^c$ 是开集，而由拓扑公理(3)，有限个 $A_i^c$ 的交集 $\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n} A_i^c$ 也在拓扑空间 $\tau$ 内，即也是开集。因此由定义3，$\displaystyle\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_i^c\right)^c$ 是闭集，再由De Morgan公式可得 $\displaystyle\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_i^c\right)^c=\bigcup_{i=1}^{n} (A_i^c)^c=\bigcup_{i=1}^{n} A_i$ 是闭集。因此有限个闭集的交集是闭集。
证毕
邻域，点和内部
定义4：设 $A$ 是拓扑空间 $X$ 的一个子集，点 $x \in A$ 。如果存在开集 $U$ ，使得 $x \in U \sube A$ ，则称 $x$ 是 $A$ 的一个内点，$A$ 是 $x$ 的一个邻域。$A$ 的所有内点的集合称为 $A$ 的内部，记作 $\mathring{A}$ （或 $A\degree$ ）。
命题3：
(1) 若 $A \sube B$ ，则 $\mathring{A} \sube \mathring{B}$ 。
(2) $\mathring{A}$ 是包含在 $A$ 中的所有开集的并集，因此是包含在 $A$ 中的最大开集。
(3) $\mathring{A}=A$ $\Harr$ $A$ 是开集。
(4) $(A \cap B)\degree = \mathring{A} \cap \mathring{B}$ 。
(5) $(A \cup B)\degree \supseteq \mathring{A} \cup \mathring{B}$ 。
〔证明(命题3)〕
(1) 若 $x$ 是 $A$ 的内点，则存在开集 $U$ 使得 $x \in U \sube A$ 。因为 $A \sube B$ ，所以 $U \sube B$ ，于是 $x$ 也是 $B$ 的内点，这样，$A$ 的内点都是 $B$ 的内点，$\mathring{A} \sube \mathring{B}$ 。
(2) 记 $\set{U_\alpha | \alpha \in \mathscr{A}}$ 是包含在 $A$ 中的所有开集构成的子集族（即 $\forall \alpha \in \mathscr{A},U_\alpha \sube A$ ）。$\forall x \in \displaystyle\bigcup_{\alpha \in \mathscr{A}}U_\alpha$ ，必存在 $\alpha_0$ 使 $x \in U_{\alpha_0}$ 。由 $U_\alpha$ 的定义知 $U_{\alpha_0} \in A$ ，再由定义4中内点的定义可知 $x$ 是 $A$ 的一个内点，因此 $x \in \mathring{A}$ 。所以，$\displaystyle\bigcup_{\alpha \in \mathscr{A}}U_\alpha \sube \mathring{A}$ 。反之，$\forall x \in \mathring{A}$ ，由定义4中内点的定义可知存在开集 $U$ 满足 $x \in U \sube A$ ，而由集合 $\set{U_\alpha | \alpha \in \mathscr{A}}$ 的定义知必存在 $\alpha_0$ 使 $U=U_{\alpha_0}$ 。即 $x \in \displaystyle\bigcup_{\alpha \in \mathscr{A}}U_\alpha$ ，从而 $\mathring{A} \sube \displaystyle\bigcup_{\alpha \in \mathscr{A}}U_\alpha$ 。综上所述，$\mathring{A} = \displaystyle\bigcup_{\alpha \in \mathscr{A}}U_\alpha$ ，因此 $\mathring{A}$ 是包含在 $A$ 中的所有开集的并集。
(3) 由(2)可知，$\mathring{A}$ 是开集，若 $\mathring{A}=A$ ，则 $A$ 也是开集。反之，当 $A$ 是开集时，$A$ 就是包含在 $A$ 中的最大开集。由(2)可直接得到 $\mathring{A}=A$ 。
(4)由集合及其运算-(43)可得 $A \cap B \sube A$ ，再由(1)可得 $(A \cap B) \degree \sube \mathring{A}$ ，同理可得 $(A \cap B) \degree \sube \mathring{B}$ ，因此 $(A \cap B) \degree \sube \mathring{A} \cap \mathring{B}$ 。由 $\mathring{A} \sube A, \mathring{B} \sube B$ 和命题2可得 $\mathring{A} \cap \mathring{B} \sube A \cap B$ 。两边取邻域并由(1)可得 $(\mathring{A}\cap\mathring{B})\degree\sube (A \cap B)\degree$ 。因此 $(\mathring{A}\cap\mathring{B})\degree = (A \cap B)\degree$ 。又由(2)可得 $\mathring{A},\mathring{B}$ 都是开集，因此由拓扑公理(3)可知 $\mathring{A}\cap\mathring{B}$ 也是开集，所以由(3)可得 $ (\mathring{A}\cap\mathring{B})\degree=\mathring{A}\cap\mathring{B}$ 。因此 $(A \cap B)\degree = \mathring{A} \cap \mathring{B}$ 。
(5)因为 $\mathring{A}\cup\mathring{B}$ 是包含在 $A \cup B$ 中的开集，根据(2)可知 $(A \cup B)\degree \supset \mathring{A} \cup \mathring{B}$ 。
证毕
用归纳法可以从(4)推导出
$$\begin{aligned} \left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right)\degree=\bigcap_{i=1}^{n}\mathring{A}_i \tag{9}\end{aligned}$$但对无穷多个子集的交集相应结果不成立。一般地(5)不能把包含号改成等号。在这里举一个反例。
例5：设 $A=[0,1],B=(1,2]$ ，则 $(A \cup B)\degree = [0,2]\degree = (0,2)$ ，而 $\mathring{A}=(0,1),\mathring{B}=(1,2)$ ，因此 $\mathring{A}\cup \mathring{B} = (0,1)\cup(1,2)$ ，因此 $(A \cup B)\degree \ne \mathring{A} \cup \mathring{B}$ 。
聚点与闭包
定义5：设 $A$ 是拓扑空间 $X$ 的子集，$x \in X$ 。如果 $x$ 的每个邻域都含有 $A \backslash \set{x}$ 中的点，则称 $x$ 为 $A$ 的聚点。$A$ 的所有聚点的集合称为 $A$ 的导集，记作 $A'$ 。称集合 $\bar{A}=A \cup A'$ 为 $A$ 的闭包。
命题4： $x \in \bar{A}$ $\Harr$ $x$ 的任一邻域与 $A$ 都有交点。
〔证明(命题4)〕假设 $x \in \bar{A}$ ，则 $x \in A$ 或 $x \in A'$ 。如果是 $x \in A$ ，则显然任意 $x$ 的邻域与 $A$ 都有至少有交点 $x$ 。如果是 $x \in A'$ ，则由 $A'$ 的定义可知 $x$ 的每个邻域都含有 $A\backslash\set{x}$ 中的点，即与 $A$ 有交点。反过来，如果 $x$ 的任一邻域都与 $A$ 有交点。如果交点只是 $x$ ，则可知 $x \in A$ ，如果交点不止是 $x$ 或者没有 $x$ ，也就是有 $A \backslash \set{x}$ 中的点，则由导集的定义知 $x \in A'$ 。因此，结论成立。
证毕
命题5：若拓扑空间 $X$ 的子集 $A$ 与 $B$ 互为补集，则 $\bar{A}$ 与 $\mathring{B}$ 互为补集。
$$\begin{aligned} x \in \bar{A}^c & \Harr x有邻域与 A 不相交\\[5pt] & \Harr x有邻域包含在B中\\[5pt] & \Harr x是B的内点 \tag{10}\end{aligned}$$因此 $\bar{A}^c=\mathring{B}$ 。
证毕
命题6：
(1)若 $A \sube B $ ，则 $\bar{A} \sube \bar{B}$ 。
(2) $\bar{A}$ 是所有包含 $A$ 的闭集的交集，所以是包含 $A$ 的最小闭集。
(3) $\bar{A}=A$ $\Harr$ $A$ 是闭集。
(4)
(5)
$$\begin{aligned} \overline{A \cap B} \sube \bar{A} \cap \bar{B} \tag{12}\end{aligned}$$ 〔证明(命题6)〕
(1) 若 $x \in \bar{A}$ ，则由命题4可知 $x$ 的任一邻域与 $A$ 有交点。又由于 $A \sube B$ ，这些交点必然也是与 $B$ 的交点。因此 $x$ 的任一邻域与 $B$ 有交点，故 $x \in \bar{B}$ 。因此 $\bar{A} \sube \bar{B}$ 。
(2) 记 $\set{V_\alpha | \alpha \in \mathscr{A}}$ 是包含 $A$ 的所有闭集构成的子集族（即 $\forall \alpha \in \mathscr{A}, V_\alpha \supe A$ ）。$\forall x \in \displaystyle\bigcap_{\alpha \in \mathscr{A}}V_\alpha$ ，则对 $\forall \alpha \in \mathscr{A}$ 有 $x \in V_{\alpha}$ 。假设 $x \notin \bar{A}$ ，则由命题4，$x$ 存在邻域 $U$ 与 $A$ 不相交，即 $A \cap U \ = \varnothing$ 。由 $\set{V_\alpha | \alpha \in \mathscr{A}}$ 的定义可知存在一个闭集 $V_{\alpha_0}$ 使得 $A \sube V_{\alpha_0}$ 且 $V_{\alpha_0} \cap U = \varnothing$ ，这样的话 $x \in U \nsubseteq V_{\alpha_0} \sube \displaystyle\bigcap_{\alpha \in \mathscr{A}}V_\alpha$ ，即 $x \notin \displaystyle\bigcap_{\alpha \in \mathscr{A}}V_\alpha$ ，与 $x \in \displaystyle\bigcap_{\alpha \in \mathscr{A}}V_\alpha$ 矛盾。因此，$x \in \bar{A}$ 。反过来，对任意 $x \in \bar{A}$ ，则 $x$ 的任一邻域 $U$ 与 $A$ 都有交点，即 $A \cap U \ne \varnothing$ 。对任意包含 $A$ 的闭集 $V_{\alpha}$ ，如果 $x \notin V_{\alpha}$ ， 则存在存在邻域 $U_{\alpha}$ 使得 $U_{\alpha} \cap V_{\alpha} = \varnothing$ 。由于 $A \sube V_{\alpha}$ ，则 $U_{\alpha} \cap A \sube U_{\alpha} \cap V_{\alpha} = \varnothing$ 这与 $A \cap U \neq \varnothing$ 相矛盾。因此对任意 $\alpha$ 都有 $x \in V_{\alpha}$ ，即 $x \in \displaystyle\bigcap_{\alpha \in \mathscr{A}}V_\alpha$ 。综上所述，$\bar{A} = \displaystyle\bigcap_{\alpha \in \mathscr{A}}V_\alpha$ 。$\bar{A}$ 是所有包含 $A$ 的闭集的交集。
(3) 由(2)可知，$\bar{A}$ 是闭集，若 $\bar{A}=A$ ，则 $A$ 也是闭集。反之，当 $A$ 是闭集时，$A$ 就是包含在 $A$ 中的最大闭集。由(2)可直接得到 $\bar{A}=A$ 。
(4) 先证明 $(A \cup B)' = A' \cup B'$ 。$\forall x \in (A \cup B)'$ ，则 $x$ 的每个邻域都含有 $(A \cup B) \backslash \set{x}$ 中的点，即含有 $A \backslash \set{x}$ 中的点或 $B \backslash \set{x}$ 中的点，因此 $x \in A'$ 或 $x \in B'$ ，因此 $x \in A' \cup B'$ ，故 $(A \cup B)' \sube A' \cup B'$ 。同样，对于 $\forall x \in A' \cup B'$ ，则 $x$ 的邻域含有 $A \backslash \set{x}$ 中的点或 $B \backslash \set{x}$ 中的点，即 $(A \cup B) \backslash \set{x}$ 中的点，因此 $x \in (A \cup B)'$ ，即 $A' \cup B' \sube (A \cup B)'$ 。综上所述，$(A \cup B)' = A' \cup B'$ 。因此，有
(5) 先证明 $(A \cap B)'=A' \cap B'$ 。$\forall x \in (A \cap B)'$ ，则 $x$ 的每个邻域都含有 $(A \cap B) \backslash \set{x}$ 中的点，即含有 $A \backslash \set{x}$ 中的点且 $B \backslash \set{x}$ 中的点，因此 $x \in A'$ 且 $x \in B'$ ，因此 $x \in A' \cap B'$ ，故 $(A \cap B)' \sube A' \cap B'$ 。同样，对于 $\forall x \in A' \cap B'$ ，则 $x$ 的邻域含有 $A \backslash \set{x}$ 中的点且 $B \backslash \set{x}$ 中的点，即 $(A \cap B) \backslash \set{x}$ 中的点，因此 $x \in (A \cap B)'$ ，即 $A' \cap B' \sube (A \cap B)'$ 。综上所述，$(A \cap B)' = A' \cap B'$ 。因此，由集合及其运算-(52)可得
$$\begin{aligned} \overline{A \cap B} =& (A \cap B) \cup (A \cap B)' \\[5pt] =& (A \cap B) \cup (A' \cap B') \\[5pt] =& ((A \cap B) \cup A') \cap ((A \cap B) \cup B') \tag{14}\end{aligned}$$由集合及其运算-(43)可知 $A \cap B \sube A, A \cap B \sube B$ ，因此再由命题1可得 $(A \cap B) \cup A' \sube A \cup A', (A \cap B) \cup B' \sube B \cup B'$ ，再由命题2可知 $\overline{A \cap B} \sube (A \cup A') \cap (B \cup B') \sube \bar{A} \cap \bar{B}$ 。
证毕
聚点的概念在欧式空间中早已出现。要注意现在的推广概念在意义上已发生改变。欧氏空间中集合A的聚点的近旁确实聚集了 $A$ 的无穷多个点，因此有限集是没有聚点的。而在拓扑空间中则不然，例如设 $X=\set{a,b,c}$ ，规定拓扑为 $\tau = \set{X, \varnothing, \set{a}}$ ，则当 $A = \set{a}$ 时，$b$ 和 $c$ 都是 $A$ 的聚点，因为 $b$ 或 $c$ 的邻域只有 $X$ 一个（在拓扑空间上），$X \backslash \set{b}$ 和 $X \backslash \set{c}$ 都包含 $a$ 。而 $a$ 不是 $A$ 的聚点，因为 $A \backslash \set{a} = \varnothing$ 。
拓扑空间 $X$ 的子集 $A$ 称为稠密的，如果 $\bar{A}=X$ 。如果 $X$ 有可数的稠密子集，则称 $X$ 是可分拓扑空间。
例如 $(\bm{R},\tau_f)$ 是可分的，事实上它的任一无穷子集都是稠密的，有理数集 $\bm{Q}$ 是它的一个可数稠密子集； $(\bm{R}, \tau_c)$ 不是可分的，因为它的任一可数集都是闭集，不可能稠密。
序列的收敛性
在数学分析中，序列收敛的概念是很基本的．拓扑空间中也可推广这个概念，但它失去了一些重要的性质。设 $x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots$ （或简单地记作 $\set{x_n}$ ) 是拓扑空间 $X$ 中点的序列，如果点 $x_0 \in X$ 的任一邻域 $U$ 都包含 $\set{x_n}$ 的几乎所有项（即只有有限个 $x_n$ 不在 $U$ 中；或存在正整数 $N$ ，使得当 $n > N$ 时，$x_n \in U$ ），则说 $\set{x_n}$ 收敛到 $x_0$ ，记作 $x_n \to x_0$ 。
拓扑空间中的序列可能收敛到多个点．例如 $(\bm{R}, \tau_f)$ 中，只要序列 $\set{x}$ 的项两两不同，则任一点 $x \in \bm{R}$ 的邻域（必是有限集的补集）包含 $\set{x_n}$ 的几乎所有项，从而 $x_n \to x$ 。
数学分析中，当点 $x$ 是集合 $A$ 的聚点时，则 $A$ 中所有序列收敛到 $x$ ，在拓扑空间中这一性质不再成立．例如在 $(\bm{R},\tau_c)$ 中，$x_n \to x$ $\Harr$ 对几乎所有 $n$，$x_n=x$ ．设 A 是一个不可数真子集，于是 $\bar{A}=\bm{R}$ （ 因为包含 $A$ 的闭集只有 $R$ ） ．取 $x \notin A$ ，则 $x$ 是 $A$ 的聚点，但 $A$ 中任一序列不可能收敛到 $x$ 。
由千拓扑空间中的序列收敛性出现这些不正常现象，它也就失去了重要性。
子空间
设 $A$ 是拓扑空间 $(X.\tau)$ 的一个非空子集。
定义6：规定 $A$ 的子集族
$$\begin{aligned} \tau_A = \set{U \cap A | U \in \tau} \tag{15}\end{aligned}$$ 容易验证 $\tau_A$ 是 $A$ 上的一个拓扑，称为 $\tau$ 导出的 $A$ 上的子空间拓扑，称为 $A, \tau_A$ 为 $X, \tau$ 的子空间。
以后，对拓扑空间的子集都看做拓扑空间，即子空间。
现在设 $A$ 是拓扑空间 $(X,\tau)$ 的子集，$B$ 又是 $A$ 的子集．于是 $B$ 有两个途径得到子空间拓扑：直接作为 $X$ 的子空间和看作 $A, \tau_A$ 的子空间．事实上它们是一样的，记 $(\tau_A)_B$ 是 $\tau_A$ 导出的 $B$ 上的拓扑，则
对千度量空间 $(X,d)$ 的子集 $A$ ，也有两种途径得到拓扑：一种途径是直接看作 $X,\tau_d$ 的子空间；另一种途径是由 $d$ 在 $A$ 上的限制得到 $A$ 上的度量 $d_A$ ，它决定 $A$ 的度量拓扑．这两个拓扑也是相同的。
对于子空间 $A$ 的子集 $U$ ，笼统地说 $U$ 是不是开集意义就不明确了，必须说明在 $A$ 中看还是在全空间中看，这两者是不同的．例如，$\bm{E}^1$ 是 $\bm{E}^2$ 的子空间，开区间 $(0,1)$ 在 $\bm{E}^1$ 中是开集，而在 $\bm{E}^2$ 中不是开集．因此开集概念是相对概念．同样，闭集、邻域、内点、内部、聚点和闭包等等概念也都是相对概念。
命题7：设 $X$ 是拓扑空间，$C \sube A \sube X$ ，则 $C$ 是 $A$ 的闭集 $\iff$ $C$ 是 $A$ 与 $X$ 的一个闭集之交集。
〔证明(命题7)〕
$$\begin{aligned} C是A的闭集 \iff& A \backslash C是A的开集 \\[5pt] \iff&存在X中的开集U，使得 A \backslash C = U \cap A \\[5pt] \iff&存在X中的开集U，使得 C = U^c \cap A \\[5pt] \iff&C是X中一个闭集与A之交集 \tag{17}\end{aligned}$$证毕
命题8：设 $X$ 是拓扑空间，$B \sube A \sube X$ ，则
(1) 若 $B$ 是 $X$ 的开(闭)集，则 $B$ 也是 $A$ 的开(闭)集；
(2) 若 $A$ 是 $X$ 的开(闭)集，$B$ 是 $A$ 的开(闭)集，则 $B$ 也是 $X$ 的开(闭)集。
〔证明(命题8)〕(1) $B = B \cap A$ ，直接由命题7可得 $B$ 是 $A$ 的开(闭)集。
(2) 设 $B$ 是 $A$ 的开(闭)集，存在 $X$ 的开(闭)集 $U$ ，使得 $B=U \cap A$ ，而 $A$ 也是 $X$ 中开(闭)集，由拓扑公理和命题2 $B$ 是 $X$ 的开(闭)集。
证毕
连续映射与同胚映射
连续映射是拓扑学中另一个最基本的概念和研究对象。
连续映射的定义
和分析学一样，连续性是一种局部性概念。
定义7：：设 $X$ 和 $Y$ 都是拓扑空间，$f:X \to Y$ 是一个映射，$x \in X$ 。如果对于 $Y$ 中 $f(x)$ 的任一邻域 $V$ ，$f^{-1}(V)$ 总是 $x$ 的邻域，则说 $f$ 在 $x$ 处连续。
容易看出，如果把定义中“任一邻域 $V$ ”改成“任一开邻域 $V$ ”（即包含 $f(x)$ 的任一开集 $V$ ），那么定义的意义不变。因此 $f$ 在点 $x$ 处连续也就是“对包含 $f(x)$ ”的每个开集 $V$ ，必存在包含 $x$ 的开集 $U$ ，使得 $f(U) \sube V$ 。
命题9：设 $f:X \to Y$ 是一映射，$A$ 是 $X$ 的子集，$x \in A$ 。记 $f_A = f|A:A \to Y$ 是 $f$ 在 $A$ 上的限制，则
(1) 如果 $f$ 在 $x$ 连续，则 $f_A$ 在 $x$ 也连续。
(2) 若 $A$ 是 $x$ 的邻域，则当 $f_A$ 在 $x$ 连续时，$f$ 在 $x$ 也连续。
〔证明(命题9)〕(1) 设 $V$ 是 $f_A(x)=f(x)$ 的邻域，则 $f^{-1}(V)$ 是 $x$ 在 $X$ 中的邻域，即存在开集 $U$ ，使得 $x \in U \sube f^{-1}V$ 。而 $f^{-1}_A(V) \supe A \cap U$ ，这里 $A \cap U$ 是 $A$ 的包含 $x$ 的开集，这就验证了 $f_A$ 在 $x$ 的连续性。
(2) 设 $V$ 是 $f(x)$ 的邻域，根据条件存在 $A$ 中的开集 $U_A$ ，使得 $x \in U_A \sube f_A^{-1}(V)=A \cap f^{-1}(V)$ 。设 $U_A=U \cap A$ ，其中 $U$ 是 $X$ 的开集。则 $U \cap \mathring{A}$ 也是 $X$ 的开集，且 $x \in U \cap \mathring{A} \sube U_A \sube f^{-1}(V)$ ，因此 $f$ 在 $x$ 连续。
证毕
此命题的(2)说明 $f$ 在某点 $x$ 处的连续性只与 $f$ 在 $x$ 附近的情形有关。
定义8：如果映射 $f:X\to Y$ 在任一点 $x \in X$ 处都连续，则说 $f$ 是连续映射。
连续映射具有“整体性”的描述方式。
定理1：设 $f:X \rightarrow Y$ 是映射，下列各条件相互等价：
(1) $f$ 是连续映射。
(2) $Y$ 的任一开集在 $f$ 下的原像是 $X$ 的开集。
(3) $Y$ 的任一闭集在 $f$ 下的原像是 $X$ 的闭集。
〔证明(定理1)〕(1) $\Rightarrow$ (2) 。设 $V$ 是 $Y$ 的开集，$U=f^{-1}(V)$ 。$\forall x \in U$ ，由于 $V$ 就是开集，$f(x) \in V$ ，因此 $V$ 是 $f(x)$ 的邻域（见定义4）。又由于 $f$ 在 $x$ 处连续，即 $f^{-1}(V)=U$ 总是 $x$ 的邻域，故 $x$ 总是 $U$ 的内点。由 $x$ 的任意性，$U=\mathring{U}$ 。由命题3的(3)可知 $U$ 是开集。
(2) $\Rightarrow$ (3) 。设 $F$ 是 $Y$ 的闭集，则 $F^c$ 是开集（见定义3），因此 $f^{-1}(F^c)$ 是 $X$ 的开集。于是 $f^{-1}(F)=(f^{-1}(F^c))^c$ 是 $X$ 的闭集。