拓扑空间
拓扑空间
拓扑空间的定义
拓扑空间与拓扑公理
定义1（拓扑空间）：设 \(X\) 是一非空集合， \(X\) 的一个子集族 \(\tau\) 称为 \(X\) 的一个拓扑，如果它满足
(1) \(X,\varnothing\) 都包含在 \(\tau\) 中。
(2) \(\tau\) 中任意多个成员的并集仍在 \(\tau\) 中。
(3) \(\tau\) 中有限多个成员的交集仍在 \(\tau\) 中。
集合 \(X\) 和它的一个拓扑 \(\tau\) 一起称为一个拓扑空间，记作 \((X,\tau)\) 。称 \(\tau\) 中的成员为这个拓扑空间的开集。
定义中的三个条件称为拓扑公理。(3)可等价地换为
(3′) \(\tau\) 中两个成员的交集仍在 \(\tau\) 中。
(3) 蕴含(3′)，另一方面易用归纳法从(3′)推出(3)。
离散拓扑和平凡拓扑
从定义看出，给出集合的一个拓扑就是规定它的哪些子集是开集。这种规定不是任意的，必须满足三条拓扑公理。但一般来说一个集合上可以规定许多不相同的拓扑，因此说到一个拓扑空间时，要同时指明集合及所规定的拓扑，以后在不会引起误解的情况下，也常常只用集合来称呼一个拓扑空间，如拓扑空间 \(X\) ，拓扑空间 \(Y\) 等。
设 \(X\) 是一非空集合，显然 \(2^X\) 满足三个拓扑公理（见幂集），构成 \(X\) 上的拓扑，称为 \(X\) 上的离散拓扑；\(\set{X,\varnothing}\) 也是 \(X\) 上的拓扑，称为 \(X\) 上的平凡拓扑。当 \(X\) 中包含多余一个点时，这两个拓扑不相同，并且 \(X\) 还有许多别的拓扑。例如设 \(X=\set{a,b,c}\) ，则 \(\set{X,\varnothing,\set{a}}\) 、 \(\set{X,\varnothing,\set{a,b}}\) 、 \(\set{X,\varnothing,\set{a},\set{a,b}}\) 都是 \(X\) 上的拓扑；但 \(\set{X,\varnothing,\set{a},\set{b}}\) 不是拓扑，因为条件(2)不满足。
设 \(\tau_1,\tau_2\) 是集合 \(X\) 上的两个拓扑，如果 \(\tau_1 \subset \tau_2\) ，则说 \(\tau_2\) 比 \(\tau_1\) 大（或者说 \(\tau_2\) 比 \(\tau_1\) 精细）。离散拓扑比任何别的拓扑都大，而平凡拓扑比任何拓扑都小。
几个拓扑例子
下面给出几个拓扑的例子。
例1：设 \(X\) 是无穷集合， \(\tau_f=\set{A^c|A是X的有限子集}\bigcup\set{\varnothing}\) ，则不难验证 \(\tau_f\) 是 \(X\) 上的一个拓扑，成为 \(X\) 上的余有限拓扑。
例2：设 \(X\) 是不可数无穷集合， \(\tau_c=\set{A^c|A是X的可数子集}\bigcup\set{\varnothing}\) ，则 \(\tau_c\) 也是 \(X\) 的拓扑，成为余可数拓扑。
例3：设 \(\bm{R}\) 是全体实数的几何，规定 \(\tau_e=\set{U|U是若干个区间的并集}\) ，这里“若干”可以是无穷、有限，也可以是零，因此 \(\varnothing\in\tau_e\) 。则 \(\tau_e\) 是 \(R\) 上的拓扑，称为 \(R\) 上的Euclid拓扑，记 \(\bm{E}^1=(\bm{R},\tau_e)\) 。
现在，对 \(R\) 已规定了五个拓扑：平凡拓扑 \(\tau_t\) ，离散拓扑 \(\tau_s\) ，余有限拓扑 \(\tau_f\) ，余可数拓扑 \(\tau_c\) 和Euclid拓扑 \(\tau_e\) 。 \(\tau_f\) 小于 \(\tau_c\) 和 \(\tau_e\) ，而 \(\tau_c\) 和 \(\tau_e\) 不能比较大小。
度量拓扑
度量与度量空间
集合 \(X\) 上的一个度量 \(d\) 是一个映射 \(d:X\times X \to R\) ，它满足
(1) 正定性。
(2) 对称性。
\[ d(x,y)=d(y,x),\quad\forall x,y \in x \tag{2} \](3) 三角不等式。
\[ d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z),\space\forall x,y,z \in X \tag{3} \]当集合 \(X\) 上规定了一个度量 \(d\) 后，称为度量空间，记作 \((X,d)\) 。
Euclid空间
例4：记 \(\bm{R}^n=\set{(x_1,x_2,\cdots,x_n)|x_i\in\bm{R},i=1,\cdots,n}\) ，规定 \(R\) 上的度量 \(d\) 为
\[ d((x_1,x_2,\cdots,x_n),(y_1,y_2,\cdots,y_n))=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2} \tag{4} \]直接代入可得 \(d\) 满足度量的性质度量条件(1)和度量条件(2)。对于度量条件(3)，使用Cauchy-Schwartz不等式可得
\[ \begin{aligned} \left(d(\bm{x},\bm{y})+d(\bm{y},\bm{z})\right)^2&=d(\bm{x},\bm{y})^2+d(\bm{y},\bm{z})^2+2d(\bm{x},\bm{y})d(\bm{y},\bm{z})\\[5pt] =&\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2+\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2+2\sqrt{\left(\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2\right)}\\[15pt] \ge&\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2+\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2+2\sqrt{\left(\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)(y_i-z_i)\right)^2}\text{（Cauchy-Schwartz不等式）}\\[15pt] =&\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2+\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2+2\left|\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)(y_i-z_i)\right|\\[15pt] \ge&\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2+\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2+2\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)(y_i-z_i)\\[15pt] =&\sum_{i=1}^{n}\bigg((x_i-y_i)^2+2(x_i-y_i)(y_i-z_i)+(y_i-z_i)^2\bigg)\\[15pt] =&\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i+y_i-z_i)^2=\sum_{i=1}^{n}(x_i-z_i)^2=d(\bm{x},\bm{z})^2 \end{aligned} \tag{5} \]注意 \(d(\bm{x},\bm{y}),d(\bm{y},\bm{z}),d(\bm{x},\bm{z})\) 都大于 \(0\) ，故 \(d(\bm{x},\bm{z}) \le d(\bm{x},\bm{y})+d(\bm{y},\bm{z})\) 。度量条件(3)满足。
记 \(\bm{E}^n=(\bm{R}^n,d)\) ，称为n维Euclid空间。
设 \((X,d)\) 是一个度量空间，我们来规定 \(X\) 的一个拓扑。
球形邻域
定义2（球形邻域）：设 \(x_0 \in X,\varepsilon\) 是一正数，称 \(X\) 的子集
\[ B(x_0,\varepsilon)=\set{x \in X | d(x_0,x)<\varepsilon} \tag{6} \]为以 \(x_0\) 为中心， \(\varepsilon\) 为半径的球形邻域。
引理1： \((X,d)\) 的任意两个球形邻域的交集是若干球形邻域的并集。
图1 球形邻域的交集
证明（引理1）：设 \(U=B(x_1,\varepsilon_1)\cap B(x_2,\varepsilon_2)\) 。 \(\forall x \in U\) ，则由球形邻域定义知 \(\varepsilon_i-d(x,x_i)>0(i=1,2)\) 。记 \(\varepsilon_x=\min\set{\varepsilon_1-d(x,x_1),\varepsilon_2-d(x,x_2)}\) 。我们考虑任意 \(x' \in B(x,\varepsilon_x)\) ，由球形邻域定义知 \(d(x',x)<\varepsilon_x\) 。又知 \(\varepsilon_x=\min\set{\varepsilon_1-d(x,x_1),\varepsilon_2-d(x,x_2)}<\varepsilon_1-d(x,x_1)\) ，有 \(d(x',x)<\varepsilon_1-d(x,x_1)\) ，即 \(d(x',x)+d(x,x_1)<\varepsilon_1\) 。由三角不等式可知 \(d(x',x_1) < d(x',x)+d(x,x_1) < \varepsilon_1\) ，所以由球形邻域定义可知 \(x' \in B(x_1,\varepsilon_1)\) ，同理可证 \(x' \in B(x_2,\varepsilon_2)\) ，即 \(x' \in B(x_1,\varepsilon_1)\cap B(x_2,\varepsilon_2) = U\) ，故 \(B(x,\varepsilon_x) \subseteq U\) ，对所有 \(x\) 求并集有 \(\displaystyle\bigcup_{x\in U}B(x,\varepsilon_x) \subseteq U\) 。但是由球形邻域定义又有 \(\forall x \in U,x \in B(x,\varepsilon_x) \subseteq \displaystyle\bigcup_{x\in U}B(x,\varepsilon_x)\) ，即 \(U \subseteq \displaystyle\bigcup_{x\in U}B(x,\varepsilon_x)\) ，最后我们得到
\[ U=\bigcup_{x\in U}B(x,\varepsilon_x) \tag{7} \]度量拓扑
命题1：规定 \(X\) 的子集族 \(\tau_d=\set{U|U是若干个球形邻域的并集}\) 。则 \(\tau_d\) 是 \(X\) 上的一个拓扑（若干可以是无穷、可以是有限、也可以是零）。
证明（命题1）：对拓扑公理(1)，取 \(\displaystyle\left(\bigcup_{x \in X}B(x,\varepsilon_x)\right)\bigcap X\) 即可得到 \(X\) ，而取 \(x=\varnothing\) 即可得到 \(\varnothing\) ，所以满足。对拓扑公理(2)，由 \(U\) 的定义容易知道满足。对拓扑公理(3)，设 \(U,U' \in \tau_d\) ，记 \(U=\displaystyle\bigcup_{\alpha}B(x_\alpha,\varepsilon_\alpha),U'=\displaystyle\bigcup_{\beta}B(x'_\beta,\varepsilon'_\beta)\) ，由集合及其运算-式(49)
\[ \begin{aligned} U \cup U' =& \left(\bigcup_{\alpha}B(x_\alpha,\varepsilon_\alpha)\right)\cap\left(\bigcup_{\beta}B(x'_\beta,\varepsilon'_\beta)\right)\\[15pt] =&\bigcup_{\beta}\left(\left(\bigcup_{\alpha}B(x_\alpha,\varepsilon_\alpha)\right)\cap B(x'_\beta,\varepsilon'_\beta)\right)\text{（集合及其运算-式(49)）}\\[15pt] =&\bigcup_{\beta}\left(B(x'_\beta,\varepsilon'_\beta)\cap\left(\bigcup_{\alpha}B(x_\alpha,\varepsilon_\alpha)\right)\right)\\[15pt] =&\bigcup_{\beta}\left(\bigcup_{\alpha}(B(x'_\beta,\varepsilon'_\beta)\cap B(x_\alpha,\varepsilon_\alpha))\right)\text{（集合及其运算-式(49)）}\\[15pt] =&\bigcup_{\alpha,\beta}(B(x_\alpha,\varepsilon_\alpha)\cap B(x'_\beta,\varepsilon'_\beta))\\[15pt] \end{aligned} \tag{8} \]根据引理1，对任何 \(\alpha,\beta\) ， \(B(x_\alpha,\varepsilon_\alpha)\cap B(x'_\beta,\varepsilon'_\beta) \in \tau_d\) 。再由拓扑公理(2)，得出 \(U \cap U' \in \tau_d\) 。
称 \(\tau_d\) 为 \(X\) 上由度量 \(d\) 决定的度量拓扑。每个度量空间都自然地看成具有度量拓扑的拓扑空间，从而Euclid空间 \(\bm{E}^n\) 也是拓扑空间（其度量拓扑称为Euclid拓扑）。从这个意义上讲，拓扑空间是Euclid空间和度量空间的推广。三条拓扑公理也正是从度量空间的开集所具有的最基本的性质中抽象出来的。
拓扑空间中的几个基本概念
下面要讲的几个基本的拓扑概念在欧氏空间和度量空间中都已出现过，但现在用开集概念来规定它们。
闭集
定义3：拓扑空间 \(X\) 的一个子集 \(A\) 称为闭集，如果 \(A^c\) 是开集（见定义1）。
也就是说，闭集就是开集的余集，反过来开集一定是一个闭集的余集。例如在离散拓扑空间中，任何子集都是开集，从而任何子集也都是闭集；平凡拓扑空间 \(X\) 中，只有两个闭集： \(X=\varnothing^c\) 和 \(\varnothing = X^c\) 。在 \((\bm{R},\tau_f)\) 中，闭集或是 \(X\) ，或为有限集；而 \((\bm{R},\tau_c)\) 中的闭集是X或可数集。
命题2：拓扑空间的闭集满足：
(1) \(X\) 与 \(\varnothing\) 都是闭集。
(2) 任意多个闭集的交集是闭集。
(3) 有限个闭集的并集是闭集。
证明（命题2）：
(1) 由定义1的定义可知 \(X,\varnothing\) 一定是某个拓扑 \(\tau\) 的子集，也就是 \(X,\varnothing\) 一定是开集。而 \(X^c=\varnothing,\varnothing^c = X\) ，因此 \(X,\varnothing\) 也是闭集。
(2) 设有任意多个闭集 \(A_1,A_2,\cdots,A_i,\cdots\) 。由 \(A_i\) 是闭集可得 \(A_i^c\) 是开集，而由拓扑公理(2)，任意多个 \(A_i^c\) 的并集 \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infin} A_i^c\) 也在拓扑空间 \(\tau\) 内，即也是开集。因此由定义3， \(\displaystyle\left(\bigcup_{i=1}^{\infin} A_i^c\right)^c\) 是闭集，再由集合及其运算-定理13可得 \(\displaystyle\left(\bigcup_{i=1}^{\infin} A_i^c\right)^c=\bigcap_{i=1}^{\infin} (A_i^c)^c=\bigcap_{i=1}^{\infin} A_i\) 是闭集。因此任意多个闭集的交集是闭集。
(3) 设有有限个闭集 \(A_1,A_2,\cdots,A_i,\cdots,A_n\) 。由 \(A_i\) 是闭集可得 \(A_i^c\) 是开集，而由拓扑公理(3)，有限个 \(A_i^c\) 的交集 \(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n} A_i^c\) 也在拓扑空间 \(\tau\) 内，即也是开集。因此由定义3， \(\displaystyle\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_i^c\right)^c\) 是闭集，再由集合及其运算-定理13可得 \(\displaystyle\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_i^c\right)^c=\bigcup_{i=1}^{n} (A_i^c)^c=\bigcup_{i=1}^{n} A_i\) 是闭集。因此有限个闭集的交集是闭集。
邻域，点和内部
定义4：设 \(A\) 是拓扑空间 \(X\) 的一个子集，点 \(x \in A\) 。如果存在开集 \(U\) ，使得 \(x \in U \sube A\) ，则称 \(x\) 是 \(A\) 的一个内点， \(A\) 是 \(x\) 的一个邻域。 \(A\) 的所有内点的集合称为 \(A\) 的内部，记作 \(\mathring{A}\) （或 \(A\degree\) ）。
命题3：
(1) 若 \(A \sube B\) ，则 \(\mathring{A} \sube \mathring{B}\) 。
(2) \(\mathring{A}\) 是包含在 \(A\) 中的所有开集的并集，因此是包含在 \(A\) 中的最大开集。
(3) \(\mathring{A}=A\) \(\Harr\) \(A\) 是开集。
(4) \((A \cap B)\degree = \mathring{A} \cap \mathring{B}\) 。
(5) \((A \cup B)\degree \supseteq \mathring{A} \cup \mathring{B}\) 。
证明（命题3）：
(1) 若 \(x\) 是 \(A\) 的内点，则存在开集 \(U\) 使得 \(x \in U \sube A\) 。因为 \(A \sube B\) ，所以 \(U \sube B\) ，于是 \(x\) 也是 \(B\) 的内点，这样， \(A\) 的内点都是 \(B\) 的内点， \(\mathring{A} \sube \mathring{B}\) 。
(2) 记 \(\set{U_\alpha | \alpha \in \mathscr{A}}\) 是包含在 \(A\) 中的所有开集构成的子集族（即 \(\forall \alpha \in \mathscr{A},U_\alpha \sube A\) ）。 \(\forall x \in \displaystyle\bigcup_{\alpha \in \mathscr{A}}U_\alpha\) ，必存在 \(\alpha_0\) 使 \(x \in U_{\alpha_0}\) 。由 \(U_\alpha\) 的定义知 \(U_{\alpha_0} \in A\) ，再由定义4中内点的定义可知 \(x\) 是 \(A\) 的一个内点，因此 \(x \in \mathring{A}\) 。所以， \(\displaystyle\bigcup_{\alpha \in \mathscr{A}}U_\alpha \sube \mathring{A}\) 。反之， \(\forall x \in \mathring{A}\) ，由定义4中内点的定义可知存在开集 \(U\) 满足 \(x \in U \sube A\) ，而由集合 \(\set{U_\alpha | \alpha \in \mathscr{A}}\) 的定义知必存在 \(\alpha_0\) 使 \(U=U_{\alpha_0}\) 。即 \(x \in \displaystyle\bigcup_{\alpha \in \mathscr{A}}U_\alpha\) ，从而 \(\mathring{A} \sube \displaystyle\bigcup_{\alpha \in \mathscr{A}}U_\alpha\) 。综上所述，\(\mathring{A} = \displaystyle\bigcup_{\alpha \in \mathscr{A}}U_\alpha\) ，因此 \(\mathring{A}\) 是包含在 \(A\) 中的所有开集的并集。
(3) 由(2)可知， \(\mathring{A}\) 是开集，若 \(\mathring{A}=A\) ，则 \(A\) 也是开集。反之，当 \(A\) 是开集时， \(A\) 就是包含在 \(A\) 中的最大开集。由(2)可直接得到 \(\mathring{A}=A\) 。
(4)由集合及其运算-式(43)可得 \(A \cap B \sube A\) ，再由(1)可得 \((A \cap B) \degree \sube \mathring{A}\) ，同理可得 \((A \cap B) \degree \sube \mathring{B}\) ，因此 \((A \cap B) \degree \sube \mathring{A} \cap \mathring{B}\) 。由 \(\mathring{A} \sube A, \mathring{B} \sube B\) 和集合及其运算-结论2可得 \(\mathring{A} \cap \mathring{B} \sube A \cap B\) 。两边取邻域并由(1)可得 \((\mathring{A}\cap\mathring{B})\degree\sube (A \cap B)\degree\) 。因此 \((\mathring{A}\cap\mathring{B})\degree = (A \cap B)\degree\) 。又由(2)可得 \(\mathring{A},\mathring{B}\) 都是开集，因此由拓扑公理(3)可知 \(\mathring{A}\cap\mathring{B}\) 也是开集，所以由(3)可得 \( (\mathring{A}\cap\mathring{B})\degree=\mathring{A}\cap\mathring{B}\) 。因此 \((A \cap B)\degree = \mathring{A} \cap \mathring{B}\) 。
(5)因为 \(\mathring{A}\cup\mathring{B}\) 是包含在 \(A \cup B\) 中的开集，根据(2)可知 \((A \cup B)\degree \supset \mathring{A} \cup \mathring{B}\) 。
用归纳法可以从(4)推导出
\[ \left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right)\degree=\bigcap_{i=1}^{n}\mathring{A}_i \tag{9} \]但对无穷多个子集的交集相应结果不成立。一般地(5)不能把包含号改成等号。在这里举一个反例。
例5：设 \(A=[0,1],B=(1,2]\) ，则 \((A \cup B)\degree = [0,2]\degree = (0,2)\) ，而 \(\mathring{A}=(0,1),\mathring{B}=(1,2)\) ，因此 \(\mathring{A}\cup \mathring{B} = (0,1)\cup(1,2)\) ，因此 \((A \cup B)\degree \ne \mathring{A} \cup \mathring{B}\) 。
聚点与闭包
定义5：设 \(A\) 是拓扑空间 \(X\) 的子集， \(x \in X\) 。如果 \(x\) 的每个邻域都含有 \(A \backslash \set{x}\) 中的点，则称 \(x\) 为 \(A\) 的聚点。 \(A\) 的所有聚点的集合称为 \(A\) 的导集，记作 \(A'\) 。称集合 \(\bar{A}=A \cup A'\) 为 \(A\) 的闭包。
结论1： \(x \in \bar{A}\) \(\Harr\) \(x\) 的任一邻域与 \(A\) 都有交点。
证明（结论1）：假设 \(x \in \bar{A}\) ，则 \(x \in A\) 或 \(x \in A'\) 。如果是 \(x \in A\) ，则显然任意 \(x\) 的邻域与 \(A\) 都有至少有交点 \(x\) 。如果是 \(x \in A'\) ，则由 \(A'\) 的定义可知 \(x\) 的每个邻域都含有 \(A\backslash\set{x}\) 中的点，即与 \(A\) 有交点。反过来，如果 \(x\) 的任一邻域都与 \(A\) 有交点。如果交点只是 \(x\) ，则可知 \(x \in A\) ，如果交点不止是 \(x\) 或者没有 \(x\) ，也就是有 \(A \backslash \set{x}\) 中的点，则由导集的定义知 \(x \in A'\) 。因此，结论成立。
命题4：若拓扑空间 \(X\) 的子集 \(A\) 与 \(B\) 互为余集，则 \(\bar{A}\) 与 \(\mathring{B}\) 互为余集。
\[ \begin{aligned} x \in \bar{A}^c & \Harr x有邻域与 A 不相交\\[5pt] & \Harr x有邻域包含在B中\\[5pt] & \Harr x是B的内点 \end{aligned} \tag{10} \]因此 \(\bar{A}^c=\mathring{B}\) 。
命题5：
(1)若 \(A \sube B \) ，则 \(\bar{A} \sube \bar{B}\) 。
(2) \(\bar{A}\) 是所有包含 \(A\) 的闭集的交集，所以是包含 \(A\) 的最小闭集。
(3) \(\bar{A}\A\) \(\Harr\) \(A\) 是闭集。
(4)
(5)
\[ \overline{A \cap B} = \bar{A} \cap \bar{B} \tag{12} \]